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Topologie
Bonsoir,
Un petit post sur la topologie parce que j'ai plein de lacunes.
Je vais prendre un exemple tout bete : l'application f, de ]-1,1] --> [0,1] qui à x associe x².
Cette application est clairement continue. Un théorème nous dit qu'une application f d'un espace métrique dans un autre est continue ssi l'image réciproque de tout fermé est un fermé.
Je me rappelle avoir posté ici un message car je ne comprenais pas par rapport à cet exemple, ]-1;1] n'étant, pour moi, ni ouvert ni fermé.
Si je me souviens bien, Raymond m'avait répondu que ]-1,1] étant mon espace de départ, il est à la fois ouvert et fermé.
Alors, si j'ai bien compris, il faut dire que ]-1,1] n'est ni un ouvert ni un fermé de R, est ce bien ça ?
Sinon, je comprends pas la distinction entre les 2, quand on se place dans un cas, et quand on se place dans l'autre ?
Quand vais-je considérer que ]-1,1] est mon espace de départ, et quand vais-je considérer que c'est une partie de R.
Ca ne doit pas etre clair du tout pour vous ce que je vous raconte, mais c'est parce que c'est pas clair pour moi non plus à la base 
Merci d'avance 
Salut Rouliane,
Un théorème nous dit qu'une application f d'un espace métrique dans un autre est continue ssi l'image réciproque de tout fermé est un fermé.
tu pars de quelle définition pour la continuité? avec les ouverts? avec les voisinages? la continuité locale? ou globale?
]-1,1] n'est ni un ouvert ni un fermé de R pour la topologie usuelle de R, c est bien ça.
Par contre, ]-1,1] est un ouvert de ]-1,1] muni de n importe quelle topologie,
et ]-1,1] est un fermé de ]-1,1] muni de n importe quelle topologie.
]-1,1] est un ouvert et un fermé de R si tu munis R de la topologie grossière.
En fait pour un sous-ensemble de
il faut (mais ça ne suffit pas) par définition d'une topologie,
que E et l'ensemble vide soit compris dedans.
Merci Romu,
Parce que ça va changer suivant la définition de la continuité ?
Quelle est la différence entre la topologie usuelle et grossière de R ?
l'application f, de ]-1,1] --> [0,1] qui à x associe x².
La continuité de l'application f dépend de la topologie de l'espace de départ et de celle de l'espace d'arrivée.
Comme pour ces deux ensembles ]-1,1] et [0,1],
on a pas spécifié dans les hypothèses leur topologie,
cela sous-entend que tu munis ces deux ensembles d'une topologie induite de celle de R.
Les notions de voisinages, de fermés et d'ouverts utiles à l'étude de la continuité de f a alors un sens.
En notant X = (]-1,1], topo induite de R sur ]-1,1]) et Y = ([0,1], topo induite de R sur [0,1]),
tu peux montrer que l'image réciproque par f de tout fermé de Y est un fermé de X,
autrement dit que f est continue.
La topologie dépend toujours de l'espace de départ.
C'est très semblable à la théorie de la mesure.
Les ensembles mesurés et la mesure que l'on considère sont dépendant de l'espace de départ.
la topologie grossiere de R c est .
la topologie usuelle de R définit les ouverts comme les ensembles qui sont ou bien vide, ou bien union d'intervalles ouverts.
mais n'est pas une union d'intervalles ouverts.
Donc ces deux topologies sont distinctes.
Tu peux remarquer que si ]-1,1] est muni de la topologie grossière, toute fonction f définie sur ]-1,1] est automatiquement continue sur ]-1,1].
merci à vous.
Otoot, la définition que m'a donné Kaiser de la topologie m'a effectivement rappelé les espaces mesurés.
Salut Rouliane,
j'ai un petit exo qui traine dans mes tds qui peut bien aider à voir le rôle de la topologie des espaces de départ et d'arrivée sur la contnuité d'une application.
Soit X et Y deux ensembles et une application.
1. On munit X de la topologie discrète, montrer que f est continue pour toute topologie sur Y.
2. On munit Y de la topologie grossière, montrer que f est continue pour toute topologie sur X.
3. Montrer qu'une topologie est discrète si et seulement si les singletons forment une base d'ouverts.
4.On munit Y de la topologie discrète et X d'une topologie quelconque,
montrer que f est continue si et seulement si pout tout , il existe un voisinage V de x tel que f est constante sur V.
Bonjour Rouliane(Julien)
Comme romu n'est pas là...
Je suis sûre que tu peux faire les deux premières questions de son exo!
Je te rappelle que la tomologie discrète est celle pour laquelle toutes les parties sont ouvertes (et fermées) et que la grossière est celle pour laquelle les seuls ouverts sont 
et l'ensemble tout entier.
Pour tes doutes sur la dépendance de la continuité de l'espace dans lequel on se place:
La fonction f:R*
R définie par f(x)=1/x est-elle continue?
Bonjour,
Merci otto.
Camélia oui elle est continue c'est quoi le piège là ?
Je vais essayer de faire cet exo
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