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topologie
bonjour tout le monde
je poste un message parce que j'aurais besoin d'un coup de main sur un exo de topo
voici l'énoncé: Soient X et Y 2 espaces métrique et f une bijection de X sur Y.Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes :
1) f est un homéomorphisme
2)pour tout A
X, f(adh(A))=adh(f(A))
3) pour tout B Y, f^(-1)(adh(B))=adh(f^(-1)(adh(B)))
bon si f est un homéomorphisme, alors on sait que l'image d'un ouvert par f sera encore un ouvert et idem pour un fermé.(parce que f est bijective,continue et f^-1 continue)
mais je ne vois pas comment m'en sortir avec ca!
merci d'avance a tous ceux qui réfléchiront à mon problème!
Bonjour
1)
2) Comme Aadh(A), on a sans hypothèses f(A)f(adh(A)). Comme adh(f(A)) est le plus petit fermé qui contient f(A) et comme f(adh(A)) est fermé (car f homéo), on a aussi adh(f(A))f(adh(A)).
Tu essayes la suite?
bonjour camelia!
dire que adh(f(A)) est le plus petit fermé qui contient f(A) implique
adh(f(A))f(adh(A))?
Eh oui! Puisque c'est le plus petit, à chaque fois que l'on a f(A) contenu dans un fermé F on aura aussi adh(f(A))F.
mais meme si c'était pas en premier, c'est quand meme ce par quoi j'aurais commencé parce que j'arrive meme pas a faire les exos de bases!
bon bé je n'y arrive pas!
voila ce que j'ai : soit x 
adh(A).
(x_n)A tel que x_n->x
On a aussi f(x_n)->f(x) car f est continue. mais après je n'arrive pas à aboutir a l'autre inclusion.
2) 3)
Tu dois démarrer avec un point de f-1(adh(B))
Là je m'arrête, j'essayerai de revenir plus tard.
Bonsoir tout deux, je débarque un peu le temps de mettre quelques trucs...
3)=>1) (image réciproque d'un fermé est fermé donc f est continue...on sait que f est une bijection(hypothese de l'néoncé) et pour montrer que f^-1 est continue: on fait je pense: (f^-1)^-1...puis image d'un fermé est fermé )
pour 2)=>3)
selon le conseil de Camélia:
soir x appartenant à f-1(adh(B)), f(x) est dans adh(B) aprés bah j'y réfléchis mais je vois pas trop.
pour 2)=>3) on a me semble t-il évidemment f^(-1)(adh(B)) inclus dans adh(f^(-1)(adh(B))).
il faut ontrer l'autre inclusion:
soit x appartenant à adh(f^(-1)(adh(B))), f(x) appartient à adh(adh(B))=adh(B) me semble t-il...puis on applique f^(-1)
on a alors x appartient à f^(-1)(adh(B)).
je sais pas si c'est correct.(notamment parce que je ne semble pas me servir de 2)...donc ça me parait faux).
pour la 2eme inclusion de 1)=>2) je seche un peu.
slt robby! je reste pas longtemps! je met juste ce que ma soeur a trouvé pour le 1=> 2
en fait, on sait que f(adh(A)) est fermé. comme il est fermé, il est aussi égale a son adhérence d'ou l'égalité!
pas besoin de faire double inclusion!
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