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Topologie
Bonjour. Voici un exercice :
Soit ( E, II.II ) un espace vectoriel normé , A et B deux parties de 
et 
* .
On definit A+B , A , A, B par :
A+B={a+b E : aA et bB }
A={a : * et a A }
A ={ (x,y) ^2 : xy=1]}
B={(t,0) : t ]}
A et B sont fermés mais A+B n'est pas fermés
Montrer que :
a- adherence A+ adherence B= adherence (A+B)
b- adherenceA 
adherence (A)
c-interieur de A +interieur de B interieur de (A+B) ( pour le c/ on admet B(a,r°+B(b,r') =B (a+b,r+r')
d- adherence de A = adherence de A( pour le d-/ on admet B(a,r) = B(a,IIr )
e- Montrer que si A est compact et B fermé alors A+B est fermé
J'ai procédé ainsi:
a-Soit une suite Xn adherence A 
Xn 
a , a adherence de A
et Yn adherence de B Yn b , b adherence B
Zn = Xn + Yn adherence de A et adherence B avec Xn adhercne et Yn adherence B Xn + Yn a+b adherence A + adherence B
On doit montrer que
a+b adherence A =afdherence B
a+b adherence A = adherence B signifie a A et b adherence de B
Or A et B sont fermés , alors
a A et b B
donc a+b A+B adherence(A+B)
d'ou a+b adherence (A+B) Par consequent adherence de A + adherence de B adherence (A+B)
salut
l'énoncé semble poser pb ...
A et B sont des parties de R^2 ... donc E = R^2 ?
ne peux-tu pas calculer directement A* et B* ? (avec X* = adhérence de X)
Bonjour tibad582.
J'ai un peu de mal à suivre ton raisonnement pour le a).
Si est une suite de
qui converge vers
alors
Si est une suite de
qui converge vers
alors
Conséquence :
On a de plus que est une suite de
qui converge vers
Conséquence :
D'où la conclusion.
Pour la b- : selon le même procédé, on a bien .
En revanche, je ne vois pas pourquoi on n'aurait pas l'inclusion inverse. Je raisonne ainsi :
Soit une suite convergente de
et soit
sa limite. Donc
Comme il existe une suite de A telle que , et que
est convergente vers
, la conclusion est que
est convergente vers
.
Comme est une suite de
, sa limite est dans
et donc
et
.
Conclusion : et par suite
___________________________
N.B. : Toutefois, ce n'est pas parce que l'énoncé ne demande pas l'inclusion inverse que ladite inclusion est fausse
Bonjour jsvd. je veux eclaicir un peu.
soit An est une suite de A qui converge vers a alors a appartient a barre car A est fermé( A=A barre)
Pareil pour Bn
d'ou a+b appartient A barre + B barre
De plus An + Bn est une suite de A +B qui converge vers a+b car An appartient à A et Bn appartient B
(On sait que dans un espace vectoriel norme un ensemble R est inclus dans R barre)
A+B A+B barre d'ou la conclusion
c- vu l'indication, c'est un jeu d'enfant
d- voir mon message de 22:30.
e- alors là, du coup, je ne saisis pas pourquoi A doit être compact.
On a vu que .
Si et
son fermés alors
donc
est fermé. A fortiori si
est compact.
Bonsoir !
A et B sont fermés mais A+B n'est pas fermés
Il me semble qu'il faut le démontrer (à opposer à la dernière question où on suppose en plus
Soit
Mais la limite
et
: ce sont deux fermés non compacts.
et donc qui n'est ni fermé ni ouvert.
a- Montrer que adhérence A+ adhérence B = adhérence (A+B)
Non, faux, pourtant j'ai répondu :
Si
Si
Conséquence :
On a de plus que
Conséquence :
D'où la conclusion. ... certes, mais laquelle ?...
... celle-ci :
Examinons la réciproque :
soit
Or
Certes, la suite
On ne peut rien conclure sauf si ... A ou B est compact. Supposons que ce soit A.
On peut donc extraire de
Par suite, comme
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