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topologie

Posté par
petroo 10-12-17 à 19:40

Bonsoir, j'ai ce petit exercice à résoudre :

Trouver trois ensembles disjoints  {{E}_{1}},{{E}_{2}},{{E}_{3}}\subset \left[ 0,1 \right]  tels que :

\overline{{{E}_{1}}}=\overline{{{E}_{2}}}=\overline{{{E}_{3}}}=\left[ 0,1 \right]

Peut-on trouver de tels  {{E}_{1}},{{E}_{2}},{{E}_{3}}  ouverts ?

Peut-on trouver de tels  {{E}_{1}},{{E}_{2}},{{E}_{3}}  fermés ?

Voilà ce que j'ai trouvé :

{{E}_{1}}=\left[ 0,1 \right[  ,  {{E}_{2}}=\left] 0,1 \right]  ,  {{E}_{3}}=\left] 0,1 \right[

Je pense que cela n'existe pas de tels  {{E}_{1}},{{E}_{2}},{{E}_{3}}  ouverts ou bien fermés .

On peut trouver l'ensemble vide et \left] 0,1 \right[ ouverts, ou bien l'ensemble vide et \left[ 0,1 \right] fermés .
peut-on démontrer cela ?

Posté par
etniopalre : topologie 10-12-17 à 19:51

   petroo
As-tu vu la notion de connexité en topologie ?

Posté par
petroore : topologie 10-12-17 à 20:08

Je n'ai pas vu, mais je viens de chercher sur le net.

Donc on peut choisir par exemple \left] 0,\frac{1}{2} \right[\cup \left] \frac{1}{2},1 \right[  avec  \left] 0,1 \right[  et l'ensemble vide    ?

Posté par
carpediemre : topologie 10-12-17 à 21:01

salut

petroo @ 10-12-2017 à 19:40

Trouver trois ensembles disjoints  {{E}_{1}},{{E}_{2}},{{E}_{3}}\subset \left[ 0,1 \right]  tels que :

\overline{{{E}_{1}}}=\overline{{{E}_{2}}}=\overline{{{E}_{3}}}=\left[ 0,1 \right]

Voilà ce que j'ai trouvé :

{{E}_{1}}=\left[ 0,1 \right[  ,  {{E}_{2}}=\left] 0,1 \right]  ,  {{E}_{3}}=\left] 0,1 \right[

Posté par
petroore : topologie 11-12-17 à 01:09

carpediem

Pourquoi répètes-tu ce que j'ai écrit ?

Posté par
WilliamM007re : topologie 11-12-17 à 09:44

Pour souligner que les ensembles sont distincts mais pas disjoints.

Peut-être [0,1]\cap\mathbb D, [0,1]\cap(\Q\backslash\mathbb D) et [0,1]\backslash\Q ?

\Q\backslash\mathbb D est-il bien dense dans \R ?

Posté par
petroore : topologie 12-12-17 à 22:38

non, les ensembles doivent être disjoints

Posté par
WilliamM007re : topologie 13-12-17 à 11:12

petroo @ 12-12-2017 à 22:38

non, les ensembles doivent être disjoints


Oui, et ceux que tu proposent sont distincts mais pas disjoints.

Posté par
petroore : topologie 13-12-17 à 13:18

Bonjour,
Parce que j'ai mal compris, je me suis trempé, tu as bien raison.

\left[ 0,1 \right]\cap \mathbb{D}=\left[ 0,1 \right]\backslash \mathbb{Q}  non ?

que penses-tu de :

\left( \mathbb{R}\backslash \mathbb{Q} \right)\cap \left[ 0,1 \right]  et  \left( \mathbb{Q}\backslash \mathbb{D} \right)\cap \left[ 0,1 \right]   et  \mathbb{D}\cap \left[ 0,1 \right]

Posté par
WilliamM007re : topologie 13-12-17 à 14:00

petroo @ 13-12-2017 à 13:18


\left[ 0,1 \right]\cap \mathbb{D}=\left[ 0,1 \right]\backslash \mathbb{Q}  non ?

Non.

petroo @ 13-12-2017 à 13:18


que penses-tu de :

\left( \mathbb{R}\backslash \mathbb{Q} \right)\cap \left[ 0,1 \right]  et  \left( \mathbb{Q}\backslash \mathbb{D} \right)\cap \left[ 0,1 \right]   et  \mathbb{D}\cap \left[ 0,1 \right]

Il me semble que c'est exactement ce que je t'ai proposé.
Ce sont bien des ensembles disjoints, c'est sûr.
On sait que \mathbb D et \R\backslash\Q sont denses dans \R donc c'est bon pour deux d'entre eux, en revanche pour le troisième il faudrait vérifier que \Q\backslash\D est bien dense dans \R.

Soit x\in\R. Puisque \D est dense dans \R, il existe une suite de décimaux a_n/b_n qui tendent vers x. Si l'on note
q_n=(a_n/b_n)+1/(3\cdot10^n) ça donne bien une suite de rationnels qui tendent vers x et qui ne sont pas des décimaux.

Posté par
petroore : topologie 13-12-17 à 17:58


WilliamM007

ok parfait ,mais je ne vois pas la suite des rationnels sauf les décimaux qui tends vers x

Posté par
WilliamM007re : topologie 13-12-17 à 23:06

Je ne comprends pas ta question

Posté par
petroore : topologie 13-12-17 à 23:23

Bonsoir,

Pour montrer que \mathbb{Q}\backslash \mathbb{D} est dense dans   \mathbb{R} il faut trouver une suite d'éléments de \mathbb{Q}\backslash \mathbb{D}$ qui converge vers x\in \mathbb{R} c'est bien cela ?

Alors je ne vois pas cette suite

Posté par
WilliamM007re : topologie 14-12-17 à 10:35

C'est la suite q_n de mon message.

Par exemple,
q_n=\frac{\lfloor 10^n x\rfloor}{10^n}+\frac1{3\times10^n}

Posté par
petroore : topologie 14-12-17 à 13:46

Merci j'ai compris.
Pour les autres questions, peut-on raisonner par absurde ?

Posté par
WilliamM007re : topologie 14-12-17 à 17:31

Moui.

Déjà il est clair qu'ils ne peuvent pas être fermés, sinon ils sont égaux à leur adhérence, donc égaux, donc non disjoints.

Et ils ne peuvent pas être ouverts non plus. Sinon l'un d'eux contient un petit intervalle ouvert de ]0,1[, et les deux autres qui sont disjoints n'ont donc aucun élément de cet intervalle, donc aucune chance d'avoir une adhérence égale à [0,1].


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