Bonjour,
Encore un exercice qui me pose problème :
Soient les ensembles :
1) Montrer que et sont des ouverts de , mais ne sont pas des fermés.
2) Montrer que et sont des fermés de , mais ne sont pas des ouverts.
3) Montrer que l'adhérence de est égale à .
4) Montrer que est de classe sur .
Mes soucis commencent à la troisième question... Enfin je ne suis pas sûr de la rédaction surtout, car le dessin est plutôt sans équivoque... et la question 4).
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Voici ce que j'ai fait jusqu'à présent :
1) et 2) J'ai commencé par poser qui est continue, car polynomiale en les variables et . une fois cela dit, on remarque que :
, c'est donc un ouvert.
, c'est donc un fermé.
, c'est donc un fermé.
, c'est donc un ouvert.
Maintenant, si (resp. ) était fermé, alors toute suite de couple à valeurs dans (resp. ) convergent vers vérifierait (resp. ). Mais, si l'on prend , on a (resp. ) pour tout , car (resp. ). En revanche : (resp. ), car (resp. ).
De plus, en , quelque soit , la boule n'est jamais incluse dans . En effet, pour tout réel , avec , le point est bien dans , mais n'est pas dans et donc n'est pas un ouvert de . Il se trouve que le même type de raisonnement fonctionne pour .
3) On sait que : .
Puisque est un fermé contenant , les propriétés de l'adhérence nous donne que .
Reste donc à montrer que .
Soit alors . Soit . On distingue 2 cas :
- 1er cas : est dans , puisque est ouvert l'existence d'une boule du type cherchée est évidente.
-2ème cas : est dans et alors le point , pour , est à la fois dans et dans .
Donc, on a bien que et donc , d'où l'égalité...
4) On commence par remarquer que et que par définition est sur et de même sur et après je ne vois pas quoi dire de plus...
Bonjour Saiga.
Concernant la question 3/ tu peux raisonner séquentiellement.
Toute suite de vérifie c'est-à-dire . Si on suppose qu'elle est convergente dans , alors la suite tend vers et tend vers .
Par continuité de , on aura c'est-à-dire
Par conséquent, . Or il est clair que donc d'après ta première inclusion.
En effet, c'est bien plus simple et surtout rapide!
Sinon ce que j'ai fait te semblait-t-il juste ?
As-tu une idée pour la question 4 ?
Oui, ce que tu as fait est correct puisqu'en fait tu as appliqué la définition de l'adhérence : un point x est dans l'adhérence de la partie A1 si tout voisinage de x rencontre A1 et en l'occurrence, tu t'es servi d'une base de voisinage, ce qui est tout à fait correct.
Pour la 4, ce que tu as dit est ok : il suffit de conclure en disant que A1 et A2\A3 sont deux ouverts disjoints (argument clé) sur lesquels les restrictions respectives de f sont . La réunion des deux restrictions est encore
Je ne suis pas sûr de bien comprendre pour la question 4...
Puisque les deux ouverts sont disjoints, et que leur réunion donne privé de la courbe , je ne peux pas avoir la continuité de la fonction sur cette réunion ? ou alors je me perds...
Sur l'ouvert , la restriction de est . Donc jusque là, pas de soucis.
Sur la restriction de est aussi .
Donc, maintenant, je réunis et qui sont deux ouverts disjoints. Soit .
Soit et alors est définie dans un voisinage V ouvert de , tel que, et sur la restriction duquel elle y est .
Soit et le raisonnement est le même.
Je rappelle que le caractère infiniment différentiable d'une fonction peut être jugé en un point à la condition que toutes les différentielles de f soit définies sur un voisinage ouvert V (qui peut dépendre ) de x et soient continues en x.
f sera dite sur un espace X si elle est infiniment différentiable en tout point de X. Autrement dit, toutes les différentielles de f existent sur X tout entier (et sont continues par la force des choses).
Si f est définie sur deux ouverts disjoints, le caractère de f sera acquis si f est sur chacun des deux ouverts. Et plus généralement sur l'ensemble des composantes connexes de l'ouvert. C'est le cas de cet exercice.
Pense à où tu définis la fonction qui vaut 1 sur et 0 sur . C'est une fonction sur .
Ah bah oui, t'as raison, j'ai juste montré que
Bon alors ensuite il faut juste prendre des cas particuliers de suites.
Si alors il suffit de considérer la suite de points de qui converge vers et c'est réglé pour voir que .
Cela dit, j'avais bien précisé que la démonstration de notre ami Saiga était correcte
En fait, dans ta démo, c'était tout bon à partir du moment où tu as écrit ceci :
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