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topologie

Posté par
Saiga 25-08-18 à 19:39

Bonjour,

Encore un exercice qui me pose problème :

Soient les ensembles :

A_1=\left\{ (x,y)\in \mathbb{R}^2 | x^2<y \right\}

A_2=\left\{ (x,y)\in \mathbb{R}^2 | x^2\geq y \right\}

A_3=\left\{ (x,y)\in \mathbb{R}^2 | x^2=y \right\}

A_4 =\left\{ (x,y)\in \mathbb{R}^2 | x^2\neq y \right\}


1) Montrer que A_1 et A_4 sont des ouverts de \mathbb{R}^2, mais ne sont pas des fermés.

2) Montrer que A_2 et A_3 sont des fermés de \mathbb{R}^2, mais ne sont pas des ouverts.

3) Montrer que l'adhérence de A_1 est égale à A_1\cup A_3.

4) Montrer que f(x,y)=\left\{ \begin{array}{cc} x^4-4y^2 & \text{ , si } (x,y)\in A_1 \\ 2y^2-5x^4 & \text{, si } (x,y)\in A_2 \end{array} \right. est de classe C^1 sur A_4.

Mes soucis commencent à la troisième question... Enfin je ne suis pas sûr de la rédaction surtout, car le dessin est plutôt sans équivoque... et la question 4).

__________________________________________________________________________________________________

Voici ce que j'ai fait jusqu'à présent :

1) et 2) J'ai commencé par poser P(x,y)=x^2-y qui est continue, car polynomiale en les variables x et y. une fois cela dit, on remarque que :

A_1=P^{-1}\left( ]-\infty, 0 [ \right), c'est donc un ouvert.

A_2 = \mathbb{R}^2\backslash A_1, c'est donc un fermé.

A_3=P^{-1}\left( \left\{0\right\} \right), c'est donc un fermé.

A_4=\mathbb{R}^2\backslash A_3, c'est donc un ouvert.

Maintenant, si A_1 (resp. A_4) était fermé, alors toute suite de couple \left( (x_n,y_n) \right)_n à valeurs dans A_1 (resp. A_4) convergent vers (x,y)\in \mathbb{R}^2 vérifierait (x,y)\in A_1 (resp. A_4). Mais, si l'on prend \left( (x_n,y_n) \right)_n=\left( (\sqrt{\frac{1}{n+1}},\frac{1}{n}) \right)_n, on a (x_n,y_n)\in A_1 (resp. A_4) pour tout n\in \mathbb{N}\backslash\left\{0 \right\}, car \frac{1}{n+1}-\frac{1}{n}<0 (resp. \frac{1}{n+1}\neq\frac{1}{n}). En revanche : \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}(x_n,y_n)=(0,0)\notin A_1 (resp. A_4), car 0\not<0 (resp. 0=0).

De plus, en (0,0)\in A_3, quelque soit r>0, la boule B((0,0),r) n'est jamais incluse dans A_3. En effet, pour tout réel \epsilon, avec 0<\epsilon<r, le point (0, r-\epsilon) est bien dans B((0,0),r), mais n'est pas dans A_3 et donc A_3 n'est pas un ouvert de \mathbb{R}^2. Il se trouve que le même type de raisonnement fonctionne pour A_2.

3) On sait que : \overline{A_1}=\left\{ (x,y)\in \mathbb{R}^2 | \text{ pour tout } \epsilon >0\text{ , on ait : } B((x,y),\epsilon)\cap A_1\neq \emptyset \right\}.

Puisque A_1\cup A_3=\left\{ (x,y)\in \mathbb{R}^2 | x^2\leq y \right\} est un fermé contenant A_1, les propriétés de l'adhérence nous donne que \overline{A_1}\subset A_1\cup A_3.

Reste donc à montrer que A_1\cup A_3\subset \overline{A_1} .

Soit alors (x,y)\in A_1\cup A_3. Soit \epsilon>0. On distingue 2 cas :

- 1er cas : (x,y) est dans A_1, puisque A_1 est ouvert l'existence d'une boule du type cherchée est évidente.

-2ème cas : (x,y) est dans A_3 et alors le point (x,y+\delta) , pour 0<\delta < \epsilon, est à la fois dans B((x,y),\epsilon) et dans A_1.

Donc, on a bien que (x,y)\in \overline{A_1} et donc A\cup A_3 \subset \overline{A_1}, d'où l'égalité...

4) On commence par remarquer que A_4=A_1\cup (A_2\backslash A_3) et que par définition f est C^\infty sur A_1 et de même sur A_2\backslash A_3 et après je ne vois pas quoi dire de plus...

Posté par
jsvdbre : topologie 25-08-18 à 20:06

Bonjour Saiga.

Concernant la question 3/ tu peux raisonner séquentiellement.

Toute suite (x_n;y_n) de A_1 vérifie x_n^2 < y_n c'est-à-dire P(x_n;y_n) <0. Si on suppose qu'elle est convergente dans \R^2, alors la suite x_n tend vers x et y_n tend vers y.

Par continuité de P, on aura P(x;y) \leq 0 c'est-à-dire x^2 \leq y

Par conséquent, A_3 \subset \bar {A_1}. Or il est clair que A_1 \subset \bar {A_1} donc A_1 \cup A_3 = \bar {A_1} d'après ta première inclusion.

Posté par
Saigare : topologie 25-08-18 à 21:14

En effet, c'est bien plus simple et surtout rapide!

Sinon ce que j'ai fait te semblait-t-il juste ?

As-tu une idée pour la question 4 ?

Posté par
jsvdbre : topologie 25-08-18 à 21:47

Oui, ce que tu as fait est correct puisqu'en fait tu as appliqué la définition de l'adhérence : un point x est dans l'adhérence de la partie A1 si tout voisinage de x rencontre A1 et en l'occurrence, tu t'es servi d'une base de voisinage, ce qui est tout à fait correct.

Pour la 4, ce que tu as dit est ok : il suffit de conclure en disant que A1 et A2\A3 sont deux ouverts disjoints (argument clé) sur lesquels les restrictions respectives de f sont C^\infty. La réunion des deux restrictions est encore C^\infty

Posté par
Saigare : topologie 25-08-18 à 22:18

Je ne suis pas sûr de bien comprendre pour la question 4...

Puisque les deux ouverts sont disjoints, et que leur réunion donne R^2 privé de la courbe y=x^2, je ne peux pas avoir la continuité de la fonction sur cette réunion ? ou alors je me perds...

Posté par
jsvdbre : topologie 25-08-18 à 22:42

Sur l'ouvert A_1, la restriction de f est C^\infty. Donc jusque là, pas de soucis.

Sur A'_2 = A_2\backslash A_3 la restriction de f est aussi C^\infty.

Donc, maintenant, je réunis A'_2 et A_3 qui sont deux ouverts disjoints. Soit x \in A'_2 \cup A_3 = A_4.

Soit x \in A'_2 et alors f est définie dans un voisinage V ouvert de x, tel que V \cap A_3 = \emptyset, et sur la restriction duquel elle y est C^\infty.

Soit x\in A_3 et le raisonnement est le même.

Je rappelle que le caractère infiniment différentiable d'une fonction peut être jugé en un point \xi à la condition que toutes les différentielles de f soit définies sur un voisinage ouvert V (qui peut dépendre D^nf) de x et soient continues en x.

f sera dite C^\infty sur un espace X si elle est infiniment différentiable en tout point de X. Autrement dit, toutes les différentielles de f existent sur X tout entier (et sont continues par la force des choses).

Si f est définie sur deux ouverts disjoints, le caractère C^\infty de f sera acquis si f est C^\infty sur chacun des deux ouverts. Et plus généralement sur l'ensemble des composantes connexes de l'ouvert. C'est le cas de cet exercice.

Pense à X=\R\times \R - \R\times \{0\} où tu définis la fonction qui vaut 1 sur \R \times \R_+^* et 0 sur \R \times \R_-^*. C'est une fonction C^\infty sur X.

Posté par
coa347re : topologie 25-08-18 à 23:10

jsvdb @ 25-08-2018 à 20:06

Bonjour Saiga.

Concernant la question 3/ tu peux raisonner séquentiellement.

Toute suite (x_n;y_n) de A_1 vérifie x_n^2 < y_n c'est-à-dire P(x_n;y_n) <0. Si on suppose qu'elle est convergente dans \R^2, alors la suite x_n tend vers x et y_n tend vers y.

Par continuité de P, on aura P(x;y) \leq 0 c'est-à-dire x^2 \leq y

Par conséquent, A_3 \subset \bar {A_1}.

Bonsoir,

A mon sens, cette démonstration n'est pas valable. Cela montre seulement que les points (x,y) limites de suites de A_1 sont tels que y \geq x^2 et \in \bar{A_1}, mais pas que le point (x, x^2) appartient effectivement à \bar{A_1}. Par contre, la démonstration de Saiga me paraît valable.

Sinon, pour la 1), pour montrer que A_1 n'est pas un fermé, il suffit de voir que son complémentaire A_2 n'est pas ouvert.

Posté par
jsvdbre : topologie 25-08-18 à 23:29

Ah bah oui, t'as raison, j'ai juste montré que \overline{A_1}\subset A_1\cup A_3.
Bon alors ensuite il faut juste prendre des cas particuliers de suites.

Si (x;x^2) \in A_3 alors il suffit de considérer la suite (x;x^2+1/n) de points de A_1 qui converge vers (x;x^2) et c'est réglé pour voir que A_3 \subset \bar {A_1}.

Cela dit, j'avais bien précisé que la démonstration de notre ami Saiga était correcte

Posté par
Saigare : topologie 25-08-18 à 23:35

Je pense avoir compris...

Je suppose que ce doit être A_1 et pas A_3 à la 3ème et 4ème lignes ?

Posté par
jsvdbre : topologie 25-08-18 à 23:43

En fait, dans ta démo, c'était tout bon à partir du moment où tu as écrit ceci :

Citation :
-2ème cas : (x,y) est dans A_3 et alors le point (x,y+\delta) , pour 0<\delta < \epsilon, est à la fois dans B((x,y),\epsilon) et dans A_1.


C'est bien que tout point x de A_3 et tout voisinage V de x rencontre A_1. Ce qui est la définition de "être dans l'adhérence de A_1".

Il y a juste que si tu veux alléger ta démo, ne pas préciser : "1er cas : x \in A_1 car on sait que A_1 \subset \bar {A_1}"


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