Bonsoir à toi aussi,

toujours dans l'espace R muni de sa topologie usuelle, eh bien parce que l'intérieur de Q est vide donc différent de lui même (ainsi Q n'est pas ouvert) et parce que son adhérence est R (donc il n'est pas fermé).

Bonsoir,

L'on constate aisément que la suite est une suite de nombres rationnels qui ne converge pas dans , puisque sa limite est . Ainsi ne peut-il pas être fermé. Que dire de ? Est-il fermé ?

Erratum :

L'on constate aisément que la suite est une suite (...)

Non, toujours pas bon

Sinon on peut faire un peu plus simple (mais bon, e ça claque quand même !) en définissant la suite :

Mon approximation préférée dans toutes les mathématiques
Ca et les polynômes de Bernstein, c'est magnifique

Et zut :

L'on constate aisément que la suite est une suite (...)

Bonsoir Ulmiere et merci.

La suite est une suite de nombres irrationnels qui ne converge pas dans , puisque sa limite est . Ainsi ne peut-il pas être fermé, de sorte que ne peut en aucun cas être ouvert.

Plus généralement, est une suite d'approximations par défaut de en base

Elle converge vers car si est la partie entière de

et donc

(bien sûr je n'ai pas précisé, mais b>1 dans cette preuve, sinon b^n ne tend pas vers l'infini)

merci