Salut,
l'adhérence de N et Z sont N et Z eux même.
La raison est assez claire, si tu prends x dans N et Z, alors tu peux prendre un voisinage suffisament petit pour que x en soit le seul point.

Pour Q, c'est assez facile par un simple argument de densité, tu peux voir que l'adhérence de Q dans R est R.

Pour le dernier ensemble, c'est un peu la même chose qua dans le premier cas. Si tu te donnes un nombre fini de points de l'ensemble, ils sont tous de la forme 1/n et donc tous espacés d'une distance finie >0.
Le problème se situe plutôt au voisinage de l'infini. la suite n->1/n tend vers 0, il te reste à décider si oui ou non {1/n} a 0 pour point adhérent.

Pour la question 3, tu devrais peut être relire ton cours:
un ensemble est ouvert si en tout point x, tu peux trouver une boule ouverte qui contient x et qui est incluse dans l'ensemble.

Par exemple pour N, il suffit de prendre un point n quelconque, et de voir que quelque soit r>0, la boule B(n,r) n'est jamais incluse dans N. Donc N n'est pas ouvert.

Je te laisse faire la question 2:
l'intérieur, ce n'est pas difficile, c'est lui même
l'adhérence, c'est le même ensemble, mais où tu considères les inégalités larges. La frontière c'est la différence des 2.

Bonne chance,
a+

Merci pour les explications !

Juste pour voir si j'ai bien compris :

A = {(x,y)£ R² tel que x²+y² < ou = 2}\{(x,y) £ r² tel que (x-1)²+y ² < 1}

L'intérieur de A est lui même donc :
{(x,y) £ R² tel que x²+y²< ou = 2}\{(x,y)£R² tel que (x-1)²+y² <1}

L'adhérence de A c'est le même ensemble avec les inégalités large donc :
{(x,y) £ R² tel que x²+y²< ou = 2}\{(x,y)£R² tel que (x-1)²+y² < ou = 1}

la frontière c'est la différence entre les deux donc c'est 1.

Est-ce que mes réponses sont bonnes ?
Par avance je vous remercie pour votre aide

Elotwist

Salut,
déjà c'est faux, l'intérieur de A, n'est pas A lui même.
Ceci est équivalent au fait que A est ouvert, mais A n'est pas ouvert.
Pour celà, tu n'as qu'à prendre le point p=(-racine 2,0) qui est bien dans A. De plus aucune boule centrée en p n'est contenue dans A.

Ca veut dire que l'intérieur d'un ensemble c'est lui même quand l'ensemble est ouvert ?

Un ensemble est son intérieur si et seulement s'il est ouvert.

Vu que tu ne me sembles vraiment pas au point je te conseil de relire ton cours et surtout d'aller en voir d'autres, qui te seront plus adaptés.

De plus, je te donne des définitions un peu plus pertinentes que celles que tu as, ainsi que quelques propriétés très utiles:

X est un espace topologique (surement R pour toi)
E est ouvert dans X (le "dans X" est important) si pour tout point e de E, on peut trouver au moins une boule B(e,r) où r>0, telle que B(e,r) soit incluse dans E.
L'idée est qu'en tout point on peut se déplacer encore un peu sans sortir de l'ensemble, et ce quelque soit la direction dans laquelle on va.
Exemple: tout intervalle ouvert est ouvert dans R.

F est fermé dans X si son complémentaire est ouvert dans X.
Autre caractérisation:
F est fermé si toute suite (fn) qui converge dans X, a sa limite dans F.
Par exemple l'intervalle ouvert (0,1) n'est pas fermé parce que (1/n) est une suite qui converge bien dans R, mais sa limite ne "reste pas" dans F, elle en sort. Le terme fermé est bien choisi parce qu'il dit que l'ensemble "piège" les limites des suites convergentes qui y sont.

Je te laisse le soin de regarder les propriétés usuelles sur les intersections et unions des ouverts et des fermés. Par convention, vide et X sont à la fois ouverts et fermés.

Soit E un sous ensemble de X:
l'intérieur de E est le plus grand ouvert O inclus dans E.
La fermeture de E est le plus petit fermé F de X contenant E.
Ces ensembles sont bien définis, parce que vide est au moins dans E, et donc il existe déjà un ouvert dans E, donc il en existe un plus grand. (c'est notamment l'union de tous les ouverts qui sont inclus dans E, c'est facile à montrer et tu devrais le faire à titre d'exercice)
De même, E est inclus dans X qui est fermé, donc il existe au moins un fermé qui contient E, donc il en existe nécessairement un plus petit. (c'est l'intersection de tous les fermés qui contiennent E, et c'est facile à montrer, tu devrais le faire à titre d'exercice)
La frontière de E est tout simplement F\O où F est sa fermeture (on dit aussi son adhérence) et O son ouverture (on dit aussi son intérieur).

Exemple:
E=[0,1) X=R
L'adhérence de E est [0,1], son intérieur est (0,1) et donc la frontière de E est [0,1]\(0,1)={0,1}

Pour finir:
une fonction f est continue de X vers Y si et seulement si pour tout ouvert O (resp. fermé F) de Y, est un ouvert de X. (resp. est un fermé de X)
Ca permet entre autre de savoir si un ensemble est ouvert ou fermé assez rapidement.

Exemple:

est ouvert dans R^2.
C'est simple, parce que si on pose f(x,y)=x²+y² où O=]-oo,1[
O est un ouvert de R (trivial) et f est clairement continue. E est donc l'image réciproque d'un ouvert par une application continue, c'est donc un ouvert.

J'espère ne pas avoir dit de bétise et avoir été clair.
Bonne chance, et renseigne toi un peu plus sur la topologie, sinon ce n'est pas gagné.
a+