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topologie
Bonjour tout le monde,
Je vous soumets un certain nombre de questions que je me pose, ainsi que ce que j'ai fait dasn un exercice.
Est-ce qu'un ensemble fermé peut être vu comme un ensemble ouvert auquel on a rajouté le bord?
Soit A un sous ensemble de IR^n. ON rappelle que A* désigne l'ensemble des points adhérents à A (j'ai changé la notation...).
a) Montrer que A inclus dans A*
b) montrer que A* est un fermé
c) montrer que (1) A est fermé <=> (2) A=A*
d) on suppose que A est borné. Montrer que A* est compact.
a) A*={x dasn IR^n tq pour tout r>0 B(x,r)
A non vide }
soit a dans A
pour tout r>0 B(a,r)A est non vide car a est dans B(a,r) et dasn A
donc A inclus dans A*
b) soit D= IR^n\A* = {x dans IR^n tq il existe r>0, B(x,r)A= ensemble vide }
soit x dasn D
il existe r>0 tq B(x,r)A = ensemble vide
soit 0<r1<r
alors B(x,r1) incluse dans B(x,r) car ...
Puisque B(x,r)A = ensemble vide,
on a B(x,r1)A= ensemble vide,
et B(x,r1) inclus dans D
donc D est ouvert et A* est fermé
c) 2=>1
A=A*
or A* est fermé donc A est fermé.
(Je ne suis pas du tout sûr d'avoir le droit d'écrire ça. Est-ce qu'il y a une preuve à donner et laquelle? )
1=> 2
Supposons A* pas inclus dans A
Alors il existe a dans A* , a n'appartenant pas à A
donc pour tout r>0 B(a,r)A n'est pas vide
or si a n'appartient pas à A et puisque A est fermé,
il existe r0>0 tq B(a,r0)A= ensemble vide
Ce qui est une contradiction.
Donc A* inclus dans A
A*= A
d) A est borné donc il existe r>0 tq A inclus dans B(0,r)
Si A est fermé alors A*=A et A* est borné.
Si A est ouvert, alors A* est inclus ou égal à B(0,r) inclus dans B(0,r1)
où r1> r0
donc A* est fermé borné, c'est un compact.
Voilà, toutes vos remarques critiques correction sont les bienvenues 
Bonjour letonio
Est-ce qu'un ensemble fermé peut être vu comme un ensemble ouvert auquel on a rajouté le bord?
Oui.
Sinon pour les autres questions :
a) OK !
b) Ici, il fallait plutôt montrer qu'il existe une boule de centre x et de rayon r1>0 tel que tout élément y de cette boule appartienne à D et ce n'est pas exactement ce que tu as fais;
c) Tout est correct même le sens (2)=>(1)
d) Un ensemble n'est pas forcément ouvert ou fermé.
Kaiser
Salut letonio!
Il y a des ensebles fermés qui ne sont l'adhérence d'aucun ouvert, par exemple conidèe un espace topologique séparé mais non discret quelconque E(par exemple R^n).
Pour tout point d'accumulation x de E, le singleton {x}est un fermé non ouvert (tout voisinage de x contient un autre point de E que x), donc {x} n'est l'adhérence d'aucun ouvert (l'adhérence du vide étant vide).
Sinon je n'ai pas tout lu, mais ta résolution du c) est correcte, il n'y a rien de plus à préciser.
Pour le d), l n'est pas nécessaire de séparer les cas A ouvert et A fermé, d'autant que ça ne recouvre pas tousles cas!!
Il y a des ensembles non ouverts et non fermés en même temps!
Il suffit de faire comme tu as fait après en incluant l'ensemble borné A dans une boule fermée (donc un compact) qui contiendra forcément le fermé A*.Ainsi A* est lui aussi compact
Sauf erreur bien sûr,
Tigweg
Est-ce qu'un ensemble fermé peut être vu comme un ensemble ouvert auquel on a rajouté le bord?
Attention quand même au sens à mettre à cela. Peut-on dire que
Par contre j'ai mal lu la question de letonio.
Mon exemple avec {x} est mauvais car même dans ce cas on peut dire que {x} est gal à l'ensemble ouvert vide auquel on rajoute la frontière de {x} qui est enore égale à {x}
Merci pour vos réponses.
Il me semble que j'ai quasimment fait ce que tu m'indiques kaiser. J'ai juste mis trois petits points là où j'aurais dû détailler.
b) J'ai voulu montrer que pour tout élément x de D, il existe r>0 tq
B(x,r) inclus dans D
Puis j'ai utilisé le fait que x est dans D
Donc il y a r1>0 tq
B(x,r1) A= ensemble vide
J'ai pris r< r1
et j'ai montré que B(x,r) inclus dans B(x,r1)
(car pour tout y dans B(x,r), ||y-x||<r < r1 )
et si B(x,r1) A = ensemble vide
alors B(x,r)A= ensemble vide
et donc x appartient à l'adhérence de A. Je me trompe?
Plus précisément, il faudrait dire, à un moment, que si y est dans une certaine boule de centre x, alors il existe un r'>0, tel que B(y,r') intersecté avec A est vide (c'est la définition de D).
Pas vraiment !
D'ailleurs, tu ne parles d'aucune boule dont le centre est y. Les boules dont tu parles n'ont que x pour centre.
Kaiser
Voilà ce que j'ai fait:
soit x dans D, il existe R>0 tq B(x,R)A= vide
On cherche un r>0 tq B(x,r) inclus dans D
Soit y dans B(x,R)
soit r>0 r< R- || x-y||
Alors B(y,r) inclus dans B(x,R)
D'où B(y,r)A= vide
i.e y appartient à D
donc B(x,r) inclus dans D
Donc D ouvert et A* fermé.
C'est bon, sauf que tu as fait mieux que démontrer que B(x,r) était inclus dans D, tu as montré que B(x,R) est inclus tout entier dans D (car tu as pris y quelconque dans B(x,R)).
Kaiser
Je reprends le message de tigweg.
J'ai bien vu avec un dessin que A étant borné, je peux l'inclure dans une boule dans laquelle sera forcément A*, mais je ne sais pas trop comment le rédiger...
Soit x appartenant à A*, alors on a B(x,1) intersecté avec A est non vide.
Cela veut donc dire que la distance de x à A est plus petite que 1.
Je te laisse conclure.
Kaiser
A borné donc il existe R>0 tq A inclus dans B(0,R) barré (boule fermée)
donc A* inclus dans B(0,R) barré
A* est fermé borné donc c'est un compact.
Je le "vois", mais est-ce que c'est une justification suffisante?
A la limite tu peux de que A* est le plus petit ermé contenant A, donc il est inclus dans B(O,R) qui est un fermé contenant A, mais il n'y a vraiment rien de plus à dire!
On sait que A est borné, donc il existe un réel M tel que pour tout y appartenant à A ||y|| est plus petit que M.
Je reprends ce que je disais dans mon dernier message, alors en remarquant que pour tout y appartenant à A, x=(x-y)+y, on avec l'inégalité triangulaire :
Ceci est vrai pour tout y dans A, alors par définition de la distance à A (ou de la borne inférieure), on a que .
On a donc une majoration de ||x|| indépendante de x, donc A* est borné.
Kaiser
P.S : j'avais démontré que la distance de x à A était plus petite que 1, en fait on peut montrer qu'elle nulle.
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