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Topologie:adhérence(suites)
Bonjour à tous,je bute encore sur un exercice de topologie,j'espere que vous aller pouvoir m'aider,voici le sujet:
Soit E l'ensemble des suites de réels tendant vers 0.
Soit d définie par d(x,y)=sup{|xn-yn|}.Montrer que d est une distance(ça c'est ok).
Montrer que l'ensemble des suites nulles à partir d'un certain rang est dense dans E.
Que peut-on dire de l'ensemble des suites(xn) telles que converge.
Pour montrer que l'ensemble des suites nulles à partir d'un certain rang est dense dans E,il faut montrer que l'adhérence de l'ensemble des suites qui sont nulles à partir d'un certain rang est l'espace E tout entier: donc en fait pour montrer cette égalité,j'ia penser à montrer les 2 inclusions: on montre facilement que l'adherence de l'ensemble des suites nulles à partir d'un certain rang est inclus dans E,mais j'arrive pas à montrer l'autre inclusion.
Merci d'avance de votre aide.
je m'excuse,je dois aller en cours la,mais je reviendrais ce soir.
Merci d'avance à ceux qui y auront réfléchis.
Bonjour robby3
Donne toi un élément x de E et considère la suite qui est égale à
pour les n premiers termes et qui est nulle ensuite.
Je ne sais pas si j'ai étét clair. 
Kaiser
Salut Kaiser,merci de ta réponse,je vois ce que tu veux dire : on considere donc (yn): cette suite est égale à x(élément de E donc x est une suite qui tend vers 0) pour les n premiers termes puis est nulle;on doit sans doute ce servir de la distance qui nous est proposer mais je vois pas comment du tout on s'en sert...
Merci encore de ton aide Kaiser.
Il faut voir ce que donne : n'oublie pas que les premiers termes de
sont nuls don en fait, on ne s'intéresse au sup mais seulement pour k supérieur à n.
Kaiser
Oui justement,les n premiers termes sont nulles pour yn-x donc aprés pour k>n on a en fait d(yn,x)=sup{|0-x|} cad x élément de E donc ayant une limite nulle à l'infini.
Donc voila en fait c'est tout ce que l'on a montré?? On fait "tout d'un coup" donc par cette méthode??
Il faut être un tout petit plus précis !
En fait, il faut dire que :
mais il fait dire pourquoi ce truc a une limite nulle (c'est vrai mais il faut justifier 
)
On fait "tout d'un coup" donc par cette méthode??
C'est-à-dire ?
Kaiser
lol, tu veux que je dise pourquoi sup|xk| a une limite nulle? bah déja il a une limite parce que |.|(la fonction) est continue donc le sup est atteint pour tout k>n et ensuite cette limite est nulle car les x appartiennent à E qui par définition est l'ensemble des suites tendant vers 0.
quand je dis tout d'un coup,en fait moi je voulais montrer en deux inclusion mais la on montre tout court l'égalité non?
Mais ça ne vient pas du fait que la valeur absolue est continue et que toute fonction continue sur un segment est bornée et atteint ces bornes...??
lool je sais pas,la fonction valeur absolue elle est pas continue sur [k,+oo]?? (je considere +oo] en pensant aux valeurs d'adhérence...)
C'est pas ça du tout?
si elle est continue mais c'est pas un segment !
Bref, on a pas le choix : il faut le prouver d'une autre manière.
Déjà, essaie de prouver que la limite existe.
Kaiser
bon la je comprends pas,je dois montrer que la limite de sup|xk| existe?? Mais les xk ce sont bien des suites de E qui tendent donc vers 0 donc leur limite existe et si on en prends le sup pourquoi il y aurait plus forcément de limite??
C'est le passage au sup qui casse tout !
Par exemple, imagine que pour n entier, et dans [0,1[ on pose
Pour tout x dans [0,1[, on a qui tend vers 0 mais
donc il peut se passer des choses bizarres.
Kaiser
ahh oui,lol en effet,tu m'as débouté lool...est ce que pour montrer que la limite existe il faut que je montre que le sup existe parce que la je vois rien!
Mais...euhh lol la monotonie de xk?? Mais comment on peut déduire un truc de xk+1-xk comment savoir si c'est >0 ou <0 on sait jsute que ça tend vers 0,ça peut trés bien croitre ou décroitre pour tendre vers 0??!!
ok bon d'accord mais alors voila ce que j'écris en fait sur ma feuille de brouillon quand je cherche la:
pour montrer que c'est croissant ou décroissant je fais sup|xk+1|-sup|xk| et aprés faut que je voiye si ce truc la est >0 ou<0 donc ce truc la comme je l'appelle si bien est <= sup|xk+1-xk| non? donc sup|xk| est décroissante.OUI??
Je te conseille de raisonner ainsi :
lorsque l'on passe de n à n+1, on prend le sup sur un ensemble plus petit donc ...
Kaiser
dsl mais je comprends pas ce que tu veux me faire dire lol,on prends le sup sur un ensemble plus petit oui mais cela veut-il dire que sup|xk+1|>sup|xk|???
eh bien non justement :
si A et B sont deux ensembles tels que A est inclus dans B, alors le sup de A est plus petit que le sup de B.
Tu es d'accord ?
Kaiser
euhh oui ahh ok donc c'est le contraire,donc c'est décroissant ok et donc la suite est décroissante...mais je vois pas du tout ce que j'en fais lool
qu'elle est minorée?? cette suite elle est minorée par les xk...non? donc admet une limite et par passage a la limite,comme les xk converge vers 0 il en est de meme pour sup|xk| non??
bon un truc fixe: pouff je vois pas on peut mettre pleins de trucs fixes,0 peut-etre mais je dis ça sans grande conviction??
eh bien oui 0 !
Pour tout k > n, donc le sup aussi !
Maintenant, montre moi que celle limite est nulle en utilisant, entre autre, la définition de la borne supérieure.
Kaiser
Bon bah déja c'est 0 lool, la définition de la borne superieur?? c'est le plus petit des majorants non mais bon??
c'est ça !
Si jamais, tu prends alors ton entier k va dépendre de n et donc on aura presque une sous-suite !
Tu vois où je veux en venir ?
Kaiser
euhh je suis d'accord que si epsilon=1/n le k dépend ensuite de n mais pourquoi a t-on une sous suite??
Cet entier dépendant de n, on va le noter .
Tout d'abord, on a que k(n)>n par définition de k(n) tend vers l'infini mais n'est pas forcément strictement croissante (c'est pour cela que j'ai dit presque).
Kaiser
ensuite, es-tu d'accord avec moi que comme k(n) tend vers l'infini, alors il existe une application strictement croissante de
dans
tel que
est strictement croissante (et donc tend vers l'infini) ?
Kaiser
ça se comprend assez facilement !
On prend et par récurrence, on dit que pour tout entier naturel, on pose :
(entres parenthèses : cet ensemble est non vide car k(n) tend vers l'infini).
En d'autres termes un peu plus parlant : on prend des termes de la suite k(n) de plus en plus grand (pour obtenir une application strictement croissante)
Kaiser
Pas exactement !
au départ, on avait pour tout n non nul :
(j'ai mis p ai lieu de k car on se serait emmêlé les pinceaux).
Maitenant, c'est n qu'il faut remplacer par .
et donc ?
Kaiser
Bon Kaiser,merci déja mais je te propose de remettre ça a demin si tu n'y vois pas trop d'inconvénient lol,la je suis à bout (et je me leve a 6h demain)
et donc? xk(n)+1/(phi(n))=sup|xp| donc tend vers 0 non??
Bon dsl je m'excuz mais la faut que j'aille dormir lol.
A demin si tu es la.
MERCI.
En fait, on n'a pas l'égalité mais il suffit juste de faire tendre n vers l'infini et on a le résultat voulu.
Bon dsl je m'excuz mais la faut que j'aille dormir lol.
Aucun problème !
Bonne nuit
!
Kaiser
Salut Kaiser,lorsque n tend vers l'infini,on a que la suite extraite est bornée par sup|xp|??et aprés lol,le but etait de montrer que sup|xp| converge vers 0 non?
Salut
Le but est d'utiliser le théorème des gendarmes en utilisant l'encadrement de mon message de 00h17 mais en remplaçant n par .
Kaiser
ok donc on remplace n par phi(n),lorque n->+oo phi(n) aussi mais le theoreme des gendarmes?? on sait pas que sup|xp| converge vers 0 si??
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