Bonjour

Je ne comprends pas ta question. Qu'est-ce que c'est B_ferme_inf ?

Bonjour merci de votre réponse,

B_ferme_inf c'est la boule fermé défini sur l'espace vectoriel de norme infini.

B_fermé_normeinf( 0 , 1 / racine( n ) )   B_fermé_normeinf(0,1) B_fermé_norme1(0,1)

C'est cette inégalité que je ne comprends pas que l'on déduit de cette inégalité (| x| _inf < |x|_1 < n *|x|_inf)

C'est toujours bizarre, tu ne dois pas tout dire. Tu as un espace de dimension infinie muni de deux normes équivalentes. A priori il n'y a aucune raison pour que l'une soit inférieure à l'autre. On te le dit? Si oui, je ne vois pas où est ton problème; il est clair que

Bonjour,

une petite lecture dans ma boule de cristal m'apprend que le K-ev est E=Kⁿ
avec K= ou K=
puis que | |_inf est la norme infinie (sup des valeurs absolues des coordonnées)
et | |_1 est la somme des valeurs absolue des coordonnées.

Dans le cas de ²
la boule fermé de centre 0 et de rayon a pour la norme 1 est le carré (vu comme surface) de sommets (a,0) (0,a) (-a,0) (0,-a)
la boule fermé de centre 0 et de rayon b pour la norme infinie  est le carré (vu comme surface) de sommets (b,b) (-b,b) (-b,-b) (b,-b)

Tu peux faire un dessin avec a=1 et b=2^-1/2.

PS : Salut Camélia

Bonjour , tu as certainement raison, et j'avais bien subodoré la même chose. Mais je tenais à souligner que tout ça n'est pas garanti, en particulier si la dimension infinie n'est pas dénombrable!

Bonjour Picbille,
je serai heureux de collaborer avec vous pour résoudre votre problème.
Je vous propose pour cela de se contacter en privé via nos adresses mail si vous en êtes d'accord.
Je suis à***
Bien cordialement

Salut jsvdb.

Le principe d'un forum est que les réponses sont publiques.

Le nœud du problème de Picbille est qu'il ne comprend pas comme on déduit l'emboitement des boules unités à partir des inégalités de normes équivalentes.

Posons donc le problème de façon plus générale :
Soient  N₁ et N₂ deux normes sur E, un K-EV de dimension quelconque.
On suppose que pour tout x de E, ces deux normes vérifient N₁(x) k.N₂(x), où k est une constante réelle strictement positive.
Alors la boule unité ouverte liée à N₂ est incluse dans la boule de rayon k ouverte liée à N₁.

Preuve :
Soit x un élément de la boule unité ouverte de N₂.
Alors, par hypothèse N₂(x) 1 et N₁(x)   k
D'où la conclusion.

On en conclut en dimension finie, le principe des boules emboîtées :
Dans un espace vectoriel de dimension finie, toute boule ouverte pour une norme contient une boule ouverte pour une quelconque autre norme.

Contre-exemple en dimension infinie :
E = espace des fonctions continues de [0, 1] dans .
On munit cet espace des normes suivantes :
N₁(f) = sup f sur [0,1] (c'est la norme 'infini')
N₂(f) =

On a N₂ N₁ et aucune égalité en sens inverse.
On en conclut que la boule unité ouverte liée à N₂ contient la boule unité ouverte liée à N₁, mais aucune inclusion inverse n'est possible.

J'ai la nette impression que le problème original est en dimension finie, égale à n.

Ceci à cause de l'inégalité

Certes, mais le vrai problème est complètement indépendant de la dimension de l'EV.

On prend un EV, deux normes sur cet EV qui vérifient une relation d'inégalité de type N1 N2 et on conclut que toute boule selon N1 contient une boule selon N2. Le tout indépendamment de toute notion de norme.

Après, si on veut, on fait intervenir la dimension.

Attention, il faut inverser l'inégalité pour que ta phrase soit vraie.

Non, c'est bon, eu égard à ma démonstration ci-dessus.
Donc, pour récapituler :

E : Espace vectoriel de dimension quelconque
N1 et N2 : deux normes sur E
k constante réelle vérifiant N1 k.N2
B1(0,k) : boule de rayon k selon N1
B2(0,1) : boule de rayon 1 selon N2
Alors B2(0,1) B1(0,k)

A partir de là, vous prenez tous les exemples d'applications qui vous intéressent.