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Topologie, continuité
Bonsoir,
qui peut m'aider à résoudre cette question :
Soit (X,d) un espace métrique, A inclus dans X une partie et f:A->R une fonction.
On suppose qu'en chaque point x de l'adhérence de A, f admet une limite notée h(x)
Montrer que h: adherence de A->R est continue et que la restriction de h a A est f
Merci!
Effectivement, j'y ai pensé, mais je bloque quand même, en particulier pour les x dans la frontière de A. J'ai l'impression qu'une démonstration pour les points appartenant à la frontière conviendra également pour les autres points
Suis d'accord que la démo pour la frontière conviendrait pour les autres points mais il manque que h coincide avec f... Il fait donc distinguer à un moment.
Bonjour 
Je ne pense pas que ce soit nécessaire de distinguer. Je lance un raisonnement :
Soit et
une suite quelconque de
qui converge vers
.
Le but est de montrer que .
Comme alors on considère une suite
de A qui converge vers
(il en existe par définition).
Comme alors on considère une suite
de A qui converge vers
(il en existe par définition).
Pour , la boule de centre
et de rayon
contient
et
pour n et p assez grands, donc tous ces points sont à
près les uns des autres.
C'est là qu'on utilise que est la limite de
.
Mon raisonnement ne vaut que pour la première question.
Pour la seconde, il faut bien entendu prendre x dans A, mais ce n'est pas une distinction, c'est une obligation pour pouvoir parler de f(x).
ha non pardon ... je retire ce que j'ai dit ... 
(j'ai pensé frontière de A en lisant adhérence de A 
)
Soient (X ,d) , (X ' , d') 2 métriques , A une partie non vide de X , f :A 
Y et h :
X' .
On suppose que , pour tout x smb]appartient[/smb] , f(t) converge , quand t
x , vers h(x) .
Donc : pour tout x 
et pour toute suite u :
A telle que u x on a : f o u h(x) .
1.
Si a A on a donc h(a) = f(a) car a et si u est la suite n
a , f o u est la suite n f(a) .
2 .
Supposons que h ne soit pas continue en un point c .
Il existe alors un réel r > 0 et une suite u : * tels que d(u(n),c) < 1/n et d'(h(u(n) h(c))> r pour tout n
*.
Il existe aussi une suite w : * A telle que d(u(n),v(n)) < 1/n et d'(f(wn , h(un) < r/2 pour tout n > 0 .
On a alors d '(f(wn) , h(c)) > r/2 et d(wn,c) < 2/n pour tout n > 0 .
La suite w converge vers c mais f o w ne converge pas vers h(c) en contradiction avec ce qui est supposé .
(sauf erreur)
Remarque:
Les hypothèses faites sont équivalentes à :
f est continue de A vers X ' et admet un " prolongement par continuité " h à .
Encore une fois, ce genre de problème dépend de la définition que l'on prend pour la limite.
Si on prend le filtre des voisinages de x alors nécessairement la restriction de h à A est f.
En effet, avec ce filtre, une fonction est continue en a si et seulement si sa limite en a est précisément sa valeur en a (ie f(a))
En effet, dans ce cas, la définition de la limite en
est alors :
En particulier, pour , il vient que
d'où
On a alors et ça, c'est précisément la définition de la continuité de f en a.
Donc, ordinairement, on montre d'abord que la limite de f en tout point a est sa valeur f(a) et qu'ensuite elle est continue.
Le problème posé dans ce fil inverse les questions : montrer d'abord la continuité de f (via une fonction h) puis que ses valeurs sont ses limites en tout point (ie montrer que f = h)
________________________________
Si on prend le filtre des voisinages épointés, alors on peut trouver un contre exemple simple : on prend pour f l'indicatrice de 0 et h est alors la fonction nulle.
En effet, dans ce cas, la définition de la limite en
est alors :
Du coup, ici, n'a aucune raison à priori de valoir
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