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topologie de [b]R[/b]

Posté par
romu 09-05-07 à 01:05

Bonsoir, j'ai du mal à voir comment résoudre cette question:

On munit \mathbb{R} de la topologie associée à la distance d(x,y) = |x-y|.

On rappelle qu'un ensemble est dénombrable s'il est en bijection avec \mathbb{N},
que tout produit fini d'ensembles dénombrables est dénombrable,
et que tout sous-ensemble infini d'un ensemble dénombrable est dénombrable.

Montrer que tout ouvert de \mathbb{R} est réunion dénombrable de fermés.
Montrer que tout fermé de \mathbb{R} est intersection dénombrable d'ouverts.

Posté par
kaiser Moderateurre : topologie de [b]R[/b] 09-05-07 à 08:44

Bonjour romu

Si U et un ouvert, commence par montrer que \Large{O=\{x\in\mathbb{R}/ d(x,O^{c})>0\}}
Ensuite, tu pourras trouver une réunion dénombrable de fermés.
Si F est un fermé, il suffira d'utiliser ce que tu auras déjà fait sur les ouvert en l'appliquant à l'ouvert \Large{F^{c}}.

Kaiser

Posté par
romure : topologie de [b]R[/b] 09-05-07 à 13:00

Bonjour Kaiser,

Alors déjà pour l'inégalité, je procède comme ça.
U = \{x\in \mathbb{R}\ :\ d(x,\mathbb{R} \setminus U)>0\}.

Soit x\in \mathbb{R}. Supposons que d(x,\mathbb{R} \setminus U)>0.
Donc x \notin \mathbb{R} \setminus U, autrement dit x \in U.
Inversement, soit x\in U.
Il existe un réel \varepsilon>0 tel que ]x-\varepsilon;x+\varepsilon[ \subset U. Donc d(x,\mathbb{R} \setminus U)>0\}.

Citation :
Si F est un fermé, il suffira d'utiliser ce que tu auras déjà fait sur les ouvert en l'appliquant à l'ouvert .


ok

Je vais maitenant chercher cette réunion dénombrable de fermés.

Posté par
romure : topologie de [b]R[/b] 09-05-07 à 23:56

je vois pas trop comment le fait que pour tout x de U, on a d(x,\mathbb{R}\setminus U)>0 entraine que U est une union dénombrable de fermés

Posté par
kaiser Moderateurre : topologie de [b]R[/b] 10-05-07 à 00:02

utilise le fait qu'un réel a est strictement positif si et seulement s'il est supérieur ou égal à un réel strictement positif (je sais ça parait bizarre de dire ça mais ça aide.. enfin je l'espère).

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : topologie de [b]R[/b] 10-05-07 à 00:05

Autre indication : il faudra exprimer ces fermés à l'aide de l'application qui à un point x associe la distance de s au complémentaire de u (application qui ,je le rappelle, est continue)

Kaiser

Posté par
romure : topologie de [b]R[/b] 10-05-07 à 00:19

Citation :
à un point x associe la distance de s au complémentaire de U


s c est l'un de ces fermés??

Posté par
kaiser Moderateurre : topologie de [b]R[/b] 10-05-07 à 00:20

non, on utilise cette application pour définir ces fermés.

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : topologie de [b]R[/b] 10-05-07 à 00:24

oublie ce que j'ai dit, j'avais pas compris : c'est une faute de frappe !

à la place de s, je voulais mettre x.

Kaiser

Posté par
romure : topologie de [b]R[/b] 10-05-07 à 00:26

d'accord en fait, c ets l application s: x\in U \longrightarrow d(x, \mathbb{R} \setminus U)?

Posté par
romure : topologie de [b]R[/b] 10-05-07 à 00:27

ah d accord, excus moi, je n avais pas lu ton dernier post

Posté par
ottore : topologie de [b]R[/b] 10-05-07 à 11:48

Salut,
pour les ouverts c'est très facile, il suffit de voir que tout ouvert est union dénombrable d'intervalles ouverts (par séparabilité de R) et il suffit donc sans perte de généralité, de travailler uniquement avec un intervalle ouvert, disons ]a,b[, pour lequel, on peut facilement exhiber les fermés en questions.

Pour les fermés, je ne serais pas surpris que l'on puisse raisonner par dualité.

a+

Posté par
kaiser Moderateurre : topologie de [b]R[/b] 10-05-07 à 15:04

Salut otto

En fait, on n'a pas besoin de la séparabilité (c'est encore plus bête que ça).
Cet énoncé serait vrai pour n'importe quel ouvert de n'importe quel espace métrique.

Kaiser


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