Bonjour romu

La topologie de Zariski est celle qui contient l'ensemble vide ainsi que tout ensemble dont le complémentaire est un ensemble fini.

Kaiser

Bonjour

Peut-être montrer la propriété sur un ensemble engendrant la topologie de IR², comme les boules ouvertes ou les pavés ouverts (sans garantie!).

Bonjour,

les fermés pour la topologie de Zariski sont définis comme l'ensemble d'annulation d'un idéal de polynomes de R[X,Y] non?

Salut à vous,

Citation :
Sur , les fermés de Zariski sont les lieux des zéros de fonctions poynômiales à n-variables.

Dans ce cas, la définition que j'ai coïncide avec celle des zéros d'un polynôme dans le cas n=1 et ne s'étend pas plus !

Kaiser

Effectivement ca marche plus pour n=2,

romu c'est défini comme l'ensemble d'annulation d'un sous-ensemble I de R[X,Y] donc  par exemple F={(x,y) dans R²/P(x,y)=0 pour P dans I}.

La topologie de Zariski est  bien celle définissant les fermés comme les zeros de fonctions polynomiales. Elle est tres importante en géométrie algébrique ainsi qu'en théorie des nombres.
Elle est moins fine que la topolgie de Haussdorff, c'est ce qu'on te demande de prouver.

C'est pas tres compliqué. Soit F un fermé de zariski. C'est donc l'ensemble des zeros d'un certain P(x1,...,xn). Comme P est continue ppour la topologie de Hausdorff F est un fermé de Hausdorff en tant que préimage d'un fermé.

Convaincu?

Heu j'ai oublié un détail. Il faut prendre l'intersection pour tous les polynomes définissant F, mais comme une intersection de fermés et fermée, ca marche bien!

Rodrigo,c'est l'intersection de l'ensemble des zéros de P(x1,...xn),il y a pas forcément qu'un seul polynome,enfin ca change rien.

Bon bien t'as rectifié avant

D'accord, donc la topologie de Zariski sur R², c'est l'ensemble ,

avec pour tout ensemble ,

Il suffit alors de montrer qu'une fonction polynômiale à 2 variables réelles est continue pour al topologie euclidienne pour conclure. OK.
Merci pour votre aide.