Bonjour.
Si mes souveneirs sont exacts, il s'agit d'une convention.
A plus RR.

Thanks, Raymond !
Dans ce cas, je comprends mieux.
Parce que rien ne m'interdirait par ex à poser E ={1,2,3,4} et à définir la distance ordinaire d sur cet ensemble. Dans ce cas j'ai bien un espace topologique (E,d). Toutefois, il n'existe pas de boule ouverte centrée en 4 par exemple. Ceci fait que E ne serait pas un ouvert. Et tout le blabla ne serait pas défini.
Est ce que mon raisonnement est correct ?

Lorsque tu dis "distance ordinaire" sur E, alors, tu considères E comme un sous-espace topologique de l'ensemble R des réels. Et tu ne peux plus appliquer l'axiome de base.
En fait, pour mieux répondre à ta question initiale : lorsque tu écris des conditions avec "quelque soit", "il existe", ... avec l'ensemble vide, la logique montre que la proposition est vraie car la prémisse est fausse. C'est pourquoi l'ensemble vide est ouvert et fermé. Comme son complémentaire doit suivre le mouvement, c'est vrai aussi pour E.
Cordialement RR.