Oui non, ce n'est pax correct, excusez-moi... Ca ne va clairement pas à la fin. Je reviens avec une autre solution...

Il est tard, je ne garantis donc plus d'avoir les idées claires...

Je reprends : je dos sprouver qu'un point Z ne peut appartenir à la fois à la boule et au graphe.

Soit (z,,f(z)) un point.
S'il appartient à la boule, alors |f(z) - a| < r ; donc a-r < f(z) < a+r.
S'il appartient au graphe (d'une fonction continue partout donc en z), alors, pour x suffisamment proche de z, on a : . Si l'on prend , on obtient en particulier f(z) < a-r, ce qui est contradictoire avec le fait que (z,f(z)) soit dans la boule.

Bon, ça me paraît tiré par les cheveux et sans doute encore faux, mais je n'ai plus les ressources physiques pour continuer : je dors sur mon clavier

A demain donc!

Bonsoir CC_

Es-tu sûr que le que tu as choisi est strictement positif ?
Sinon, il y a plus simple : passe par les suites.

Kaiser

En effet, non : je m'en suis aperçu lorsque je me suis réveillé!

Je propose donc un troisième solution, encore plus moche (et sans doute aussi fausse!) que les précédentes, mais après tout c'est en se trompant qu'on apprend...

Je reprends donc la même démarche que dans mon message précédent.
Soit (z,f(z)).
S'il appartient à la boule de rayon r = , alors |f(z) - a| < r ; donc a-r < f(z) < a+r.
S'il appartient au graphe, alors comme la fonction est continue partout (donc en x0), on devrait pouvoir avoir f(z) aussi proche de f(x0) que l'on veut, dès que z est assez proche de x0. Montrons que c'est impossible.
Prenons encore une fois . Peut-on avoir |f(z) - f(x0)| < ?
On aurait alors . Ce doit être compatible avec l'appartenance à la boule. On devrait donc avoir :

Premièrement, : c'est impossible si a-f(x0) est positif.
Deuxièmement, : c'est impossible si a-f(x0) est négatif.

Voilà pour le troisième essai, qui tente de résoudre le problème de la positivité de epsilon.

Pour les suites, j'y ai pensé, mais je ne vois pas trop comment faire, en fait... (Et je voudrais surtout arriver à le traiter de cette façon, car c'est une question d'honneur! )

Il y un truc qui me gêne : au départ, tu as fixé z mais à la fin tu dis "dès que z est suffisamment proche de ".
Tu m'accorderas que c'est plutôt étrange, non ?

Kaiser

Mouais... Bon ben je jette l'éponge... Personne n'aurait une petite piste?

Je te propose deux méthodes :

1) une avec les suites
2) une qui reprend ton idée

D'abord, avec les suites :

Soit une suite de points de la courbe qui converge vers un certain couple (x,y) alors on a pour tout n.

Or, converge vers x, donc par continuité de f, la suite converge vers f(x).
Par unicité de la limite, on a y=f(x), donc la suite de points converge vers (x,f(x)) qui est un point de du graphe.
Ainsi, le graphe est fermé.

Je crée un autre message pour la deuxième idée.

Kaiser

Je reprends tes notations.

Notons d la distance du point au graphe de f.
Pour montrer que n'est pas dans l'adhérence du graphe de f, il faut et il suffit de montrer que d est strictement positive.

Notons

soit x appartenant à K, alors

En particulier, on a .
Ainsi, on voit que K est borné.
Par ailleurs, l'application est clairement continue donc K est fermé comme image réciproque du fermé par cette application continue.

Finalement, K est un fermé borné de donc c'est un compact.

Pour tout x appartenant au complémentaire de K, le point est à une distance strictement supérieure à d+1 du point .

Ainsi, on a



Or l'application est continue sur le compact K donc elle bornée et atteint ses bornes.
En particulier, il existe t dans K tel que d=g(t)
De plus, comme le point n'appartient pas au graphe de f alors g ne s'annule pas sur K (elle est même strictement positive)
En particulier, d > 0 et donc d'après ce que l'on a dit plus haut, le point

n'est pas dans l'adhérence du graphe.
On peut même plus précis en disant que la boule de centre et de rayon a une intersection vide avec le graphe de f.

Kaiser

Merci beaucoup pour ton aide Kaiser, je vais étudier tout cela à tête reposée et je reviendrai en cas de souci.
Mais réellement merci

A bientôt!

OK, pas de problème !

J'ai bien compris l'explication de Kaiser, pas de problème!

Toutefois, j'ai encore essayé de bidouiller d'autres démos (j'en ai pondu une quatrième aussi fausse que les trois autres ). Je me demandais s'il était possible de faire quelque chose d'extrêmement simple pour cette preuve : celle de Kaiser est astucieuse mais utilise le résultat sur l'image réciproque d'un fermé (je n'y avais pas pensé!), la construction de g, etc. Ce qui fait qu'au final, on perd un peu en intuition sur le résultat.

Serait-il possible également de traiter cet exo juste en manipulant des outils intuitifs et élémentaires, comme j'ai essayé de le faire plus haut, c'est à dire ne faire appel qu'à la définition de la continuité et d'une partie fermée?

Je n'y parviens décidément pas, je commence donc à me demander si c'est possible ou si je suis vraiment nullos

Bonjour
Voici encore une méthode: soit f continue de R dans R et soit G son graphe. la fonction g définie sur R² par g(x,y)=y-f(x) est évidemment continue et G=g^-1({0}). Comme {0} est fermé, G est fermé comme image réciproque d'un fermé par une fonction continue. (Vrai pour toute f continue).

Hello Camélia
Ah c'est top cette méthode... On expédie mémé dans les orties en deux lignes!
Merci!

Mais je pense effectivement qu'il doit être dur de faire une démo seulement avec les outils "primaires"... Je ne vois toujours pas de moyen pour cela.

Rebonjour
C'est tout l'intérêt de la topologie de mettre en place des outils conceptuels qui évitent le "primaire" et surtout qui s'appliquent à des situations très variées. Le "primaire" a été traité une fois pour toutes quand on a démontré que si f est continue les images réciproques des fermés sont fermées (ainsi que les ouverts).