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Topologie engendrée par une partie
Bonjour,
j'ai acheté très récemment un livre de Topologie pour travailler ces vacances. Je dois avouer qu'après un mois et demi sans faire de maths, je suis totalement rouillé. Ceci dit, j'ai du mal à démontrer une proposition de mon livre. La voici :
"Soit (X,T) un espace topologique. Soit ; il existe une plus petite topologie contenant
; elle s'appelle topologie engendrée par
et se note
. De plus :
1) est constituée des unions d'intersections finies d'éléments de
(avec la convention )
2) Si est "presque" stable par intersection, c-à-d :
est constituée de X et des unions d'éléments de
"
Je pense avoir démontré la première proposition en partant du fait que est l'intersection de toutes les topologies contenant
, mais la deuxième me pose un peu de problème... De plus j'ai un peu de mal à comprendre pourquoi le livre précise que la topologie contient X ? Dans ma définition j'ai :
"Soit X un ensemble ; on appelle topologie sur X une famille de parties de X, appelées ouverts, telles que :
toute réunion d'ouverts est un ouvert
toute intersection finie d'ouverts est un ouvert
sont des ouverts "
J'en avais conclu que X devait forcément appartenir à mais je me trompe sûrement...
Merci d'avance pour vos réponses.
De plus j'ai un peu de mal à comprendre pourquoi le livre précise que la topologie contient X ?
je parle du passage à la fin de la proposition 2 : "constituée de X"
Bonjour Kernelpanic.
Avant de te répondre, je vais déjà rectifier une chose :
(avec la convention
C'est
Pour précision, ce que le livre appelle convention est en réalité bien démontrable (et de façon simple.)
Alors la partie concernant la quasi-stabilité par intersection peut effectivement dérouter.
Mais si on y regarde de près, il n'y a effectivement plus que des réunions à faire.
En effet, une topologie est stable par intersection finie de ses éléments.
Si est déjà quasi-stable, voyons ce qu'il se passe :
Soit A et B deux éléments de .
Alors, pour tout , on considère le
dont il est question dans la définition de quasi-stabilité.
Il vient alors qu'au moment des réunions des partie de , l'on va forcément considérer l'ensemble des
pour x parcourant
.
Et du coup la réunion de tous ces sera
et l'élément
sera dans la topologie engendrée laquelle contiendra donc toutes les intersections finies de deux éléments de
.
Ce que j'ai fait pour 2 éléments de doit l'être pour toutes les sous-familles finies d'éléments de
.
On obtient donc bien toutes les intersections finies d'éléments de grâce uniquement à toutes les réunions quelconques d'éléments de
.
C'est remarquable.
Petite remarque :
"Soit X un ensemble ; on appelle topologie sur X une famille de parties de X, appelées ouverts, telles que :
toute réunion d'ouverts est un ouvert.
toute intersection finie d'ouverts est un ouvert.
sont des ouverts "
Le point n'est pas nécessaire à la définition, il découle de
et
via la "convention" puisqu'une intersection finie d'ouvert peut être composée d'une intersection de 0 ouvert (idem pour la réunion) et la "convention" dit que dans ce cas on a obligatoirement X (respectivement
) dans la topologie.
Mea culpa, je me suis embrouillé dans mon latex...
Parfait, j'ai bien tout compris. Dernière question et après je n'embête plus :
comment démontrer ce qu'affirme la "convention" justement sur l'intersection et l'union ? J'ai tenté d'écrire la définition mais je pense m'embrouiller et je n'arrive pas à aboutir au final.
j'aurai toujours des questions comment démontrer ce qu'affirme la "convention" justement sur l'intersection et l'union ?
Il suffit d'écrire la définition de la réunion :
Soit
On appelle réunion de cette famille et on désigne par
Dès lors que
Pour l'intersection :
Soit
On appelle intersection de cette famille et on désigne par
Dès lors que
Cette définition de l'intersection est la plus communément admise car on travaille rarement, dans l'étude des structures, en dehors des parties d'un ensemble donné.
Il existe une autre définition de l'intersection (dont l'utilisation serait probablement une catastrophe) :
Soit
On appelle intersection de cette famille et on désigne par
Dans cette définition, il est impératif que I ne soit pas vide, sinon l'objet n'existe pas.
Pfiou, j'ai pas mal galéré à comprendre la subtilité entre famille d'ensemble et famille d'ensemble de parties de E (à savoir que dans la dernière définition en effet, on a un objet qui ne peut pas exister si I est l'ensemble vide). Par contre, j'ai du mal à comprendre pourquoi
cela vient du fait que si P(x) est fausse pour tout x d'un certain ensemble, P(x) => Q(x) est toujours vraie ? (j'avais vu quelque chose du genre en première année, mais impossible de me souvenir...)
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