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topologie:espace complet

Posté par
robby3 01-03-07 à 14:56

Bonjour à tous,j'aurais besoin d'aide pour l'exercice que voici:

Soit(E,d) un espace métrique .Montrrer que les conditions suivantes sont equivalentes:
1)(E,d) est complet.
2)Toute suite(x_n)_ntelle que la série\Bigsum_{n=0}^{\infty} d(x_{n+1},x_n) converge est convergente.

3)Toute suite(x_n)_n telle que d(x_{n+1},x_n)<\frac{1}{2^n}est convergente.

Alors j'arrive pas à avancer,voila ce que j'ai écrit sur mon brouillon:

(E,d) complet <=> tout suite de Cauchy de E converge,cad qu'on aune suite x_nde E tel que:

\rm \forall \epsilon>0,\exists N_0\in N,\forall n,m>N_0 =>d(x_n,x_m)<\epsilon ça ça veut dire que (x_n) est de cauchy,comme elle converge (vers x),on aen plus que:

d(x_n,x)->0

Ensuite,j'ai essayé de traduire la 2):
la série converge donc son terme général tend vers 0 cad:
d(x_{n+1},x_n)->0 et x_n converge aussi(vers x) donc on a aussi:
d(x_n,x)->0,d(x_{n+1},x)->0

Puis la troisieme proposition:
on a:
d(x_n,x)->0,d(x_{n+1},x_n)<\frac{1}{2^n}

Voila,alors si quelqu'un peut m'aider à montrer que ces conditions sont équivalentes,je l'en remerci d'avance.

Posté par
Camélia Correcteurre : topologie:espace complet 01-03-07 à 15:05

Bonjour robby
Indication: pour montrer que la suite est de Cauchy remarque que
d(xm,xn)d(xm,xm+1)+...d(xn-1,xn)

Posté par
robby3re : topologie:espace complet 01-03-07 à 15:09

Bonjour Camélia,

Pardon,je n'ai pas saisi,tu veux que je montre que quelle suite est de Cauchy?
c'est pour montrer quel équivalence ou implication?

Posté par
Camélia Correcteurre : topologie:espace complet 01-03-07 à 15:10

Pour 1) entraine 2).

Posté par
robby3re : topologie:espace complet 01-03-07 à 15:24

ah ok d'accord,

Soit (x_n)_nune suite de Cauchy dans E,on a:

d(x_n,x_m)\le d(x_m,x_{m+1})+...+d(x_{n-1},x_n)
humm,je vois pas,on a:
\Bigsum_{n=0}^{\infty}d(x_{n+1},x_n)=d(x_1,x_0)+d(x_2,x_1)+...+d(x_n,x_{n-1})+d(x_{n+1},x_n)??
je comprend pas ce que je peux faire.

Posté par
robby3re : topologie:espace complet 01-03-07 à 18:10

Pour 2)=> 3),voila ce que j'ai:
on a la série:\Bigsum_{n=0}^{\infty}d(x_{n+1},x_n)qui est convergente et (x_n)_nconvergenete vers x.
J'en déduis ces deux choses:
\rm \red d(x_{n+1},x_n)->0 et d(x_n,x)->0
or la deuxieme remarque peut aussi se traduite par ceci:

\rm \forall \epsilon>0,\exists N_o\in N,\forall n>N_o => d(x_n,x)<\epsilon
Par ailleurs on:

d(x_{n+1},x_n)<d(x_n,x)+d(x_{n+1},x)<2.\epsilon
car si x_n tend vers x,x_(n+1) aussi...,cela veut donc dire que si on prend \epsilon={\frac{1}{2^{n+1}} >0 on a bien l'inégalité du 3)(et toujours x_n qui converge...

c'est bien ça?

Posté par
Camélia Correcteurre : topologie:espace complet 02-03-07 à 15:11

Bonjour robby3
On note und(xn,xn+1)

Pour 1 2.
Tu prends une suite (xn) telle que la série un converge.
Alors, en utilisant le critère de Cauchy pour les séries numériques et l'inégalité que je t'ai suggérée, tu montres que la suite (xn) est de Cauchy, puis qu'elle converge car E est complet.

Pour 23: C'est évident en utilisant le critère de comparaison et le fait que 2/2n converge.

Tu essayes déjà de comprendre ça?

Posté par
robby3re : topologie:espace complet 02-03-07 à 16:17

Bonjour Camélia,

pour 2=>3 ok.

Pour 1=>2,je sais pas si j'ai saisi,
on prends (x_n)_nune suite telle que \sum u_n=d(x_{n+1},x_n)converge,j'utilise le critere de Cauchy:
_n\sqrt(u_n)->l<1 car  \sum u_nconverge.
ensuite avec l'inégalité...

d(x_n,x_m)\le d(x_m,x_{m+1})+...+d(x_n,x_{n-1})
je l'utilise comment le critere de Cauchy?
Merci de m'aider.

Posté par
robby3re : topologie:espace complet 02-03-07 à 16:18

au début c'est u_n=d(x_n,x_{n+1})

Posté par
Camélia Correcteurre : topologie:espace complet 03-03-07 à 14:15

Salut robby3. On parlait pas du même critère.
Celui qui m'intéressait: Une série numérique an converge si et seulement si
(\forall \varepsilon\in R_+^*)(\exists m\in N)(\forall (p,q)\in N^2) m\leq p\leq q\Longrightarrow |a_{p+1}+\cdots+a_q|\leq \varepsilon


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