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topologie__espace produit

Posté par
fusionfroide 03-12-07 à 20:34

Salut

Proposition :
4$(E_1\times ... \times E_n,D) séparable équivaut à 4$(E_i,d_i) séparable pour tout i

Voici la preuve :

Par hyptohèse, 4$\exist \mathbb{D} \subset E_1 \times E_2 tels que 4$\bar{\mathbb{D}}=E_1\times E_2 et 4$\mathbb{D} est dénombrable.

Posons 4$\mathbb{D}_i=pr_i(\mathbb{D})

On traite le cas 4$i=\{1,2\}

On a : 4$\bar{\mathbb{D}_i}=\bar{pr_i(\mathbb{D_i})}

Pourquoi a-t-on 4$pr_i(\bar{\mathbb{D}}) \subset \bar{pr_i(\mathbb{D_i})}=\bar{\mathbb{D}_i}

Ok c'est parce que 4$pr_i est continue, mais je ne comprends pas pourquoi !!

Merci

Posté par
Roulianere : topologie__espace produit 03-12-07 à 20:37

Salut,

A vue de nez, cet exo atteint un 7 sur l'échelle de mochitude de Kaiser

Posté par
romure : topologie__espace produit 03-12-07 à 20:38

Bonsoir,

En topologie, dire qu'une application f d'un espace X dans un espace Y est continue, équivaut à dire que pour tout A\subset X,\ f(\overline{A})\subset \overline{f(A)}.

Posté par
lologuemtopologie 06-12-07 à 02:31

Pfff facile !!!


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