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Topologie et ouverts
Bonjour,
Je bloque sur une question de mon exercice :
On note d(x,y) = | e^x - e^y |
Vérifier que U C R est ouverte dans (R,d) si et seulement si elle est ouverte dans (R,| . |).
Si j'ai bien compris la question est de montrer que les topologies associées à d et à | . | sont équivalentes, ce qui reviendrait à montrer que pour n'importe quelle boule ouverte de d alors on peut y trouver dedans une boule ouverte de | . | et vice versa, mais je n'y arrive pas vraiment.
Merci de vos futures réponses.
Il y a des moyens pour écrire des inclusions sur le forum, de même que placer des exposants !
Je trouve inadmissible d'utiliser la majuscule "C" pour cette opération et de proposer des énoncés illisibles!
Pour vous :
On note d(x,y) = | ex - ey |
Vérifier que U ⊆ ℝ est ouverte dans (ℝ,d) si et seulement si elle est ouverte dans (ℝ, | . | )
Pour résoudre ton problème, tu peux utiliser le théorème des accroissement finis sur tout intervalle de la forme ]x,y[. On a :
Comme tu veux seulement l'équivalence des topologies il suffit à mon avis d'utiliser la continuité de la fonction exponentielle et celle de sa réciproque.
Typiquement, si est la boule ouverte de centre
de rayon
dans
il existe
tel que
.
Pour l'inverse tout ira bien pour les boules usuelles incluses dans . Mais il faudra quelque effort lors ce n'est pas les cas.
Merci de vos réponses à vous deux.
Pour résoudre ton problème, tu peux utiliser le théorème des accroissement finis sur tout intervalle de la forme ]x,y[. On a :
En effet, cela résout le problème assez facilement. Merci.
Comme tu veux seulement l'équivalence des topologies il suffit à mon avis d'utiliser la continuité de la fonction exponentielle et celle de sa réciproque.
Typiquement, si
Pour l'inverse tout ira bien pour les boules usuelles incluses dans
J'arrive donc à en conclure que pour tout r > 0, il existe un h tel que Bd(x,h)⊆B| . |(x,r).
Pour l'inverse en effet j'avais même déjà trouvé sur
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