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topologie et suites

Posté par
AnneDu60 21-07-18 à 18:37

Bonjour !
Dans l'objectif de mieux comprendre le lien entre les suites et la topologie (et répondre à l'ancien exercice ) j'ai essayé de démontrer la propriété suivante :

"Soit A une partie non vide d'un espace métrique (X,d).
Pour tout xX, on a :
d(x,A)=0 (an)A/ x=\lim_{n\rightarrow +\infty }a_n=x"
J'ai réussis pour la réciproque mais pour l'implication, il est écrit dans la correction :
"Supposons que d(x,A)=0.
Pour tout n , il existe anA/ d(x,an) \frac{1}{2^n}
Je comprends pas pourquoi ..

Posté par
SkyMtnre : topologie et suites 21-07-18 à 18:44

Bonsoir. On peut vérifier que x est adhérent à A, ainsi formulé tu dois voir pourquoi on choisit de tels a_n

Posté par
SkyMtnre : topologie et suites 21-07-18 à 19:10

Ou tout simplement, comme d(x,A)=0 pour \varepsilon > 0 arbitraire, on peut trouver y\in A tel que d(x,y) <\varepsilon (sinon l'inf ne vaudrait pas 0). On applique ensuite cela à \varepsilon = 2^{-n} et on choisit un y=a_n...

Posté par
jsvdbre : topologie et suites 21-07-18 à 19:26

Bonjour AnneDu60.

Tu dois revenir à la définition de la distance d'un point à une partie A d'un espace métrique pour comprendre bien et atteindre ton objectif : "comprendre le lien entre les suites et la topologie"

Par définition, d(x;A) = \inf \{d(x;a)~/~a \in A\}.

Maintenant, tu dois te servir de ce que tu sais de la borne inférieure d'une partie de \R.

0 sera la borne inférieure d'une partie X de \R si : 0 minore X et c'est le plus grand minorant.

Donc pour tout \varepsilon > 0, et en particulier, pour \varepsilon_n = \frac{1}{2^n}, il existe \lambda_n \in X, \lambda_n \in [0;\varepsilon_n[ (sinon, comme SkyMtn te l'as dit, l'inf ne vaudrait pas 0)

En posant X = \{d(x;a)~/~a \in A\} tu as ce que l'on cherche. Au \lambda_n de la phrase ci-dessus correspond un x_n de A qui vérifie d(x;x_n) \leq \frac{1}{2^n}.

Notes :

- il est tout-à-fait possible de prendre x_n = x dans le cas où x \in A

- Mais si x \notin A, alors on devra se contenter d'un x_n\in A qui sera "très proche" de x.

Posté par
AnneDu60re : topologie et suites 22-07-18 à 04:28

Alors j'essaye.

Soit xX.
On pose E={d(x,a), aA}
E est un partie non vide de et minorée par 0 donc inf(E) existe.
inf(E)=d(x,A).

En revoyant mon cours de L1 :
Soit X non vide, m=inf(X) >0,xX/ x<m+
(je vais m'aider de cela)

On a que : >0,yE/y<d(x,A)+
Donc : >0,aA/ d(x,a)<d(x,A)+
Donc : >0, aA/  d(x,a)<
Donc n, anA/ d(x,an)<\frac{1}{2^n}

Juste une petite précision :
Définition : "Une suite (xn)X converge vers x \lim_{n\rightarrow +\infty }d(x,xn)=0"
Mais je suis pas d'accord ..
C'est pas une définition mais une propriété !
En supposant que  \lim_{n\rightarrow +\infty }xn=x.
Comme d est continue.
\lim_{n\rightarrow +\infty }d(x,xn)=d( \lim_{n\rightarrow +\infty }x, \lim_{n\rightarrow +\infty }xn)=d(x,x)=0 ?

Posté par
etniopalre : topologie et suites 22-07-18 à 09:50

La suite  u :    X converge vers x   signifie que
  la suite n d(x , u(n))  converge vers 0  . C'est une définition .

Posté par
SkyMtnre : topologie et suites 22-07-18 à 12:19

D'accord, admettons que ce soit une propriété, mais alors quel sens donnes-tu à \lim x_n = x ?

Pour revenir à ta rédaction, je trouve maladroit d'écrire "\forall n\in\N, \textcolor{red}{\exists a_n \in A} \ldots", tu prétends pouvoir choisir de manière unique ton a_n (pour définir ta suite) mais en pratique c'est plutôt ardu
Le quantificateur existentiel permet d'instancier un nouvel objet sur le moment, un à la fois, mais jamais plusieurs d'un coup (pour chaque n dans \N) bien que ce soit tentant. Tu dois préciser que tu en choisis un pour chaque n (on marque l'emploi d'un axiome particulier).

Tu peux dire :

Puisque d(x,A) =0, pour tout \varepsilon > 0, il existe y\in A pour lequel d(x,y)<\varepsilon.
En particulier, en fixant n\in\N, on peut choisir un tel élément, noté a_n, vérifiant d(x,a_n) < 2^{-n}.
On définit ainsi une suite d'éléments de A qui converge vers x.

Posté par
SkyMtnre : topologie et suites 22-07-18 à 12:22

edit : il serait même plus correct d'écrire "Choisissons pour chaque n\in\N un élément a_n\in A vérifiant d(x,a_n)<2^{-n}" pour bien se rendre compte qu'il ne s'agit pas que d'un "quantificateur existentiel".

Posté par
jsvdbre : topologie et suites 22-07-18 à 12:23

La topologie sur un espace métrique est définie à partir d'une distance.
Mais la notion de limite d'une suite est définie à partir d'une topologie.
Donc fondamentalement la définition de la limite à partir de la distance ne peut être qu'une propriété.
Mais la topologie et la métrique sont si intimement liées via une base de topologie par les boules ouvertes que l'on peut considéré que la définition via la distance est une ... définition.

Posté par
jsvdbre : topologie et suites 22-07-18 à 13:08

@SkyMtn : si pour chaque n entier on peut choisir un élément a de A, alors cela signifie précisément que (n)(aA)...
L'utilistation du n'implique l'unicité ni à priori ni à posteriori...
Donc, oui, l'écriture d'AnneDu60 est correcte.

Posté par
AnneDu60re : topologie et suites 22-07-18 à 15:55

Bonjour

SkyMtn :
J'imagine que vous parliez de l'axiome du choix (je pense pas utile que vous me l'expliquiez maintenant car ce n'est pas de mon niveau)
Oui c'est ce que je fais, pour chaque n, on trouve un anA tel que ...

Soit (X,d) un espace métrique.
Soit (un)X.
Vous me demandez de donner un sens à \lim_{n\rightarrow +\infty }x_n=x
Je dirai naïvement que sa définition de base est que :
>0, N/ n>N, d(x,xn)<
C'est en utilisant la définition de la continuité de d qu'on arrive à dire que
\lim_{n\rightarrow +\infty }d(x,x_n)=0.
jsvd : "Donc fondamentalement la définition de la limite à partir de la distance ne peut être qu'une propriété." Donc j'ai raison ?

Posté par
SkyMtnre : topologie et suites 22-07-18 à 16:04

La définition de \lim x_n = x c'est : \forall \varepsilon > 0, \exists N\in\N \text{ tq.} \forall n\geqslant N, d(x,x_n)<\varepsilon
La définition de \lim d(x,x_n) = 0 : \forall \varepsilon > 0, \exists N\in\N \text{ tq.} \forall n\geqslant N, \vert d(x,x_n) \vert<\varepsilon...
Or d(x,x_n) = \vert d(x,x_n)\vert, du coup c'est exactement la même chose, indépendamment de la continuité...

Posté par
jsvdbre : topologie et suites 23-07-18 à 02:39

AnneDu60 @ 22-07-2018 à 15:55

"Donc fondamentalement la définition de la limite à partir de la distance ne peut être qu'une propriété."

Il faut revenir aux définitions générales des choses :

Soit X\neq \emptyset un ensemble et d une distance sur X. Je précise que d est définie sur X \times X.
On souhaite définir une topologie sur X à partir de d. Eh oui ! Sinon, comment parler de convergence ???
La bonne façon de procéder est de définir dans un premier temps les voisinages des points de X.
Soit w \in X et d_w : X \rightarrow \R_+,~d_w(x) = d(w;x).
On dit qu'une partie W \subset X sera un voisinage de w si \exists \varepsilon > 0,~B(w;\varepsilon) = \{y \in X~/~d(w;y) < \varepsilon \} \subset W.
Autrement dit, la partie W a le droit de s'appeler voisinage de w si elle contient une boule ouverte centrée en w.
On fait ensuite varier w dans X et on obtient l'ensemble \mathfrak V_{X,d} des voisinages des points de X à partir de la distance d.
On vérifie aisément que \mathfrak V_{X,d} vérifie les 4 axiomes d'un ensemble de voisinages.
On définit alors \tau_d la topologie sur X telle que \mathfrak V_{X,d} soit le système de voisinage des points de X.

Cette manière de définir une topologie à partir d'un système de voisinages n'est pas enseignée (sauf dans un livre intitulé "Topologie Générale" par Bourbaki ... ) exactement sous cette forme.
C'est pourtant la démarche à suivre si l'on veut aboutir à l'équivalence qui va suivre.

On peut maintenant parler de la limite d'une suite de X pour la topologie \tau_d.

Toujours selon les définitions générales, une suite (x_n)_n de points de X convergera pour \tau_d vers x \in X si pour tout voisinage de x dans X, il existe un entier N au-delà duquel tous les points de la suite appartiennent.

Avec la définition des voisinages d'un point, on démontre facilement que {\blue (x_n \rightarrow x \text{ dans } (X;\tau_d))} \Leftrightarrow {\red (d(x;x_n) \rightarrow 0 \text{ dans } (\R_+;\tau_{\text{us}}))}

Donc, oui, la "définition" de la convergence par la distance est une propriété.

Mais compte-tenu de l'équivalence bleu-rouge que j'ai écrite, on peut l'admettre au rang de définition. Et c'est cette définition qui sert de point de départ à la convergence des suites dans les espaces métriques telle qu'enseignée en licence.


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