Salut,
pour la 2, tu prends Un une suite de A+B qui converge
d'ou il existe An appartenant à A et Bn appartenant à B tel que
Un=An+Bn
A est compact d'ou il existe une sous suite de An , A(nk) qui converge vers a dans A
B(nk) converge aussi nécessairement (car sinon U(nk) ne convergerait pas or on l'a supposé convergeante) vers b dans B

Un est une suite convergeante , il n' a y donc qu'une seule valeur d'adhérence a+b qui appartient à A+B d'où A+B fermé.


Pour la suite, je cherche ...

Resalut,
pour le 3 , je crois que c'est bon ....
A ouvert d'ou pour tout a appartenant à A, il existe r>0 tq B(a,r) C A

Soit g appartenant à A+B, Mq'il existe r tq B(g,r) C A+B
g appartient à A+B d'où il existe a appartenant à A et B appartenant à B tq
g = a+b
A appartient à A, il existe r>0 tq B(a,r) C A.
soit y appartenant B(a+b,r)
Je pose x=y-b
||x-a||=||y-b-a||=||y-(a+b||<r d'où x appartient à B(a,r) d'ou x appartient à A

ainsi y=x+b appartient à A+B
d'où B(a+b,r) C A+B et A+B ouvert

Merci beaucoup c'est très gentil d'avoir bien détaillé parce que je pensais utiliser les boules dans la question 3) mais je n'étais pas sûre.
En tout cas merci encore j'ai bien compris.
Bonne soirée

Mais de rien,
Bonne soirée

Bonjour,

j'ai deux petites questions supplémentaires:

- Que veut dire "la réunion des segments joignant A à B est aussi compacte"?

- A+B est encore fermé si on considère seulement que A est fermé. Non?

Bonsoir ;

Pour on a . _{(sauf erreur)}