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TOPOLOGIE : exercice sur une norme

Posté par
maxoumaxou 22-09-19 à 13:56

Bonjours,
Je n'arrive pas à répondre à cet exo et je dois absolument le faire :
il faut prouver l'application suivante est une norme sur 3
(x1, x2, x3) (max(|x1|, |x2|)[/sup] + |x3|[sup])

(je ne sais pas si c'est utile mais auparavant on a prouvé que  l'application
(x1, x2, x3) max(|x1| , |x2|) + |x3|
est une norme)

Merci d'avance pour me sauver la vie !

Posté par
maxoumaxoure : TOPOLOGIE : exercice sur une norme 22-09-19 à 13:59

oups, dsl
c'est la norme (x1, x2, x3) (max(|x1| , |x2|)² + |x3|²)

Posté par
maxoumaxoure : TOPOLOGIE : exercice sur une norme 22-09-19 à 14:03

j'ai déjà réussi à prouver la séparation et l'homogénéité mais je n'arrive pas à prouver l'inégalité triangulaire

Posté par
carpediemre : TOPOLOGIE : exercice sur une norme 22-09-19 à 14:38

salut

quand on ne sait pas écrire des indices (sur ordi) il est encore plus dommage de ne pas savoir que l'alphabet compte 26 lettres ...

est-ce bien N(x, y, z) = \sqrt {\max (|x|, |y|^2 +|z|^2)}

la fonction racine carrée étant croissante donc ""elle ne pose pas de pb""

N(x + u, y + v, z + w)^2 = \max (|x + u|, |y + v|^2 + |z + w|^2)

après il faudra bien utiliser ce que tu as prouver auparavant ... mais auparavant il va falloir gérer ces carrés !!!

Posté par
maxoumaxoure : TOPOLOGIE : exercice sur une norme 22-09-19 à 14:52

Non. Dsl, ce n'est pas ça, je me suis mal exprimé
c'est N(x, y, z) = racine( max(|x|, |y|)² + |z|²)
et je n'arrive pas à prouver l'inégalité triangulaire N(x + x', y + y', z + z') <(ou égal) N(x, y, z) + N(x', y', z')

(sachant que j'ai prouvé auparavant que l'application M(x, y, z) = max(|x|, |y|) + |z|
est bien une norme même si je ne sais pas si c'est utile)
Merciii

Posté par
perroquetre : TOPOLOGIE : exercice sur une norme 23-09-19 à 06:29

Bonjour, maxoumaxou.

N(x+x',y+y',z+z')=\sqrt{max(|x+x'|,|y+y'|)^2+(z+z')^2}

Or   max(|x+x'|,|y+y'|)\leq max(|x|,|y|)+max(|x'|,|y'|)

Et il est bien connu que:   \sqrt{(a_1+a_2)^2+(b_1+b_2)^2}\leq \sqrt{a_1^2+b_1^2}+ \sqrt{a_2^2+b_2^2}

...


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