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topologie faible dans Lp

Posté par
Saiga 01-11-18 à 19:40

Bonsoir,

Soient 1<p<+\infty, \Omega un ouvert de \mathbb{R}^N. On considère (f_n)_n une suite de fonctions telles que :

1) (f_n)_n soit bornée dans L^p(\Omega).

2) (f_n)_n converge vers f presque partout.

Montrer que (f_n)_n converge faiblement vers f dans L^p(\Omega).

__________________________________________________________________________________________________


Tout ce que j'arrive à faire c'est montrer que si la suite converge faiblement alors nécessairement c'est vers f, mais pour le reste pas d'idée....

Posté par
etniopalre : topologie faible dans Lp 01-11-18 à 19:59

  il te faut montrer que ,   pour toute  g L^q(\Omega)  , g.fn fg

Posté par
Saigare : topologie faible dans Lp 01-11-18 à 20:58

D'accord, j'ai essayé et je suis bloqué :

\int f_ngd\lambda-\int f g d\lambda=\int(f_n-f)gd\lambda j'ai tenté d'appliquer le théorème de convergence dominée, mais je ne m'en sors pas avec la domination, j'ai essayé en utilisant la densité des fonctions de classe C^\infty à support compact :

|(f_n-f)g|\leq |f_n-f|\times M, car g est continu sur son support qui est compact, elle est donc bornée sur son support.

Posté par
Saigare : topologie faible dans Lp 01-11-18 à 23:06

Heu... est-ce que ce qui suit fonctionne ? ou suis-je à côté de la plaque... ?

Soit \phi de classe C^\infty à support compact. Alors, on a :

\left| \int_\Omega (f_n-f)\phi d\lambda \right|\leq \int_\Omega |(f_n-f)\phi d\lambda|

Or, comme \phi est de classe C^\infty à support compact et en notant K=supp(\phi)\subset \Omega, on a :

\int_\Omega |(f_n-f)\phi d\lambda =\int_K |(f_n-f)\phi d\lambda \leq \lVert \phi\rVert_\infty \int_K|f_n-f|d\lambda\leq \epsilon \lVert \phi\rVert_\infty\lambda(K)

et du coup c'est ce qu'on veut par densité des fonctions de classe C^\infty à support compact dans L^q(\Omega).

Posté par
jsvdbre : topologie faible dans Lp 01-11-18 à 23:25

Bonsoir Saiga.
C'est tout-à-fait ça. Il faut tout de même conclure.

Tu peux donc écrire que pour g \in L^q(\Omega) et \varepsilon > 0, on peut trouver \phi \in C^\infty(\Omega) tel que ||g-\phi||_q < \varepsilon.

|\int_\Omega (f_n-f)gd\lambda| = |\int_\Omega (f_n-f)(g-\phi + \phi)d\lambda|\leq \cdots

Posté par
Saigare : topologie faible dans Lp 01-11-18 à 23:37

Re-bonsoir,

Ok ça marche !

Merci !

Posté par
etniopalre : topologie faible dans Lp 02-11-18 à 08:16

Comment voir que f est dans Lp ?

Posté par
Saigare : topologie faible dans Lp 02-11-18 à 09:34

En effet, il me manque la preuve que f est dans L^p(\Omega), mais cela se vérifie aisément :

Puisque (f_n)_n est bornée dans L^p(\Omega), on a qu'il existe M>0 tel que pour tout n\geq 1, on ait \lVert f_n\rVert_p\leq M et puisque (f_n)_n converge faiblement vers f, on a que : \lVert f \rVert_p\leq \liminf\limits_{n\rightarrow +\infty}\lVert f_n\rVert_p\leq M.

On en déduit que f est dans L^p(\Omega).

Posté par
etniopalre : topologie faible dans Lp 02-11-18 à 10:00

Mais il faut montrer que f est dans Lp avant toute chose .

Posté par
jsvdbre : topologie faible dans Lp 02-11-18 à 11:44

On pourrait utiliser le théorème de convergence dominée, sauf que là, il faut dégoter le dominant, et c'est pas gagné.
Par exemple, f_n(x) = \mathbf 1_{[n;n+1]} converge simplement vers 0 et on ne peut pas trouver de dominant intégrable à la suite.

Donc il faut faire mumuse avec les propriétés de convergence faible :

La suite (f_n)_n est bornée dans L^p donc il existe une sous-suite faiblement convergente vers une fonction g.

D'après l'hypothèse 2), g ne peut être que f (car il me semble que d'une suite faiblement convergente dans Lp, on peut trouver une sous-suite qui converge presque partout)

Donc f \in L^p

Posté par
jsvdbre : topologie faible dans Lp 02-11-18 à 12:14

Citation :
il me semble que d'une suite faiblement convergente dans Lp, on peut trouver une sous-suite qui converge presque partout

Bah non !

f_n(x) = \sin(nx) dans L^2([0;2\pi]) converge faiblement vers 0, mais pas de sous-suite qui converge pp vers 0

Posté par
etniopalre : topologie faible dans Lp 02-11-18 à 14:14


    La suite n   fn Lp est bornée dans Lp et et   converge pp vers f .


  La suite n   |fn|p converge donc  pp vers |f|p   ,  ce qui , avec
|f|p   liminf(|fn|p) < +  , entraine que f Lp

La suite n hn = f n- f Lp ,  converge pp vers 0 et  M := Supn(Np(hn) < + .
Cela entraine-t-il que , pour  toute g de CK , la suite  n    g.hn tend vers 0 ?

Posté par
Saigare : topologie faible dans Lp 02-11-18 à 18:36

Bonsoir etniopal,

si je comprends bien, la première partie c'est l'utilisation du lemme de Fatou qui permet d'avoir f\in L^p(\Omega).

Cependant, pour la deuxième partie, je crois que c'est ce que j'ai fait lors de mon message d'hier, à 23h06...

Mais si je reprends ton message, je dirais que oui, en faisant :

\int_\Omega g h_n d\lambda =\int\limits_K g h_n d\lambda , avec K=supp(g).

Ensuite, je pose K=K_1 \cup K_2, avec K_1=\left\{ t : h_n(t)=0 \text{ et }t\in K \right\} et K_2=\left\{ t : h_n(t)\neq 0 \text{ et }t\in K \right\}. Alors :

\int\limits_K g h_n d\lambda=\int_{K_1}gh_nd\lambda +\int_{K_2}gh_nd\lambda \leq \lVert g \rVert_\infty \times \left( \int_{K_1}h_n d\lambda+\int_{K_2}h_nd\lambda\right)=\lVert g \rVert_\infty\times \int_{K_2}h_nd\lambda \leq \lVert g \rVert_\infty \times M \times \lambda(K_2)

avec M=\sup\left\{ \lVert h_n\rVert_p / n\in \mathbb{N} \right\} , et cette dernière quantité tend vers 0, puisque par hypothèse (f_n)_n converge vers f presque partout, d'où : K_2\underset{n\rightarrow +\infty}{\longrightarrow}0.

Est-ce bien cela ? si oui est-ce que ce que j'ai proposé lors du message d'hier fonctionne également, car j'ai un petit doute là...

Posté par
etniopalre : topologie faible dans Lp 02-11-18 à 19:17

Au lieu de prendre des g dans CK (et décortiquer ce que tu racontes ) je préfère ce qu'il se passe avec des g plus simples .

Par exemple si  g est l'indicatrice d'un intervalle compact  J := [a , b] comment montrer que  J hn    0 si on a : Supn(Np(hn)    < + et hn 0 (pp) ?

Posté par
Saigare : topologie faible dans Lp 02-11-18 à 21:05

Je ne suis pas sûr de comprendre...

On sait que (f_n)_n converge faiblement vers f dans L^p si et seulement si pour tout g dans L^q, on a :

\int f_n \cdot g d\lambda \underset{n\rightarrow +\infty}{\longrightarrow} \int f\cdot g d \lambda

Donc regarder ce qu'il se passe uniquement dans le cas où g est l'indicatrice d'un compact ne suffit pas...

Personnellement, pour répondre à la dernière question de ton message, je couperais l'intégrale en deux :

- la première intégrale sur l'ensemble des t\in J, où h_n(t)=0, celle-ci valant donc 0.

- la seconde intégrale sur l'ensemble des t\in J, où h_n(t)\neq 0 et celle-là étant majoré par une constante multipliant la mesure de cet ensemble qui tend donc vers 0 par hypothèse.

Comme je l'ai fait lors de mon message précédent... Mais du coup je pense que tu vois quelques chose de plus simple qui ne m'apparaît pas du tout...

Posté par
jsvdbre : topologie faible dans Lp 03-11-18 à 00:33

etniopal @ 02-11-2018 à 19:17

Par exemple si  g est l'indicatrice d'un intervalle compact  J := [a , b] comment montrer que  J hn    0 si on a : Supn(Np(hn)    < + et hn 0 (pp) ?


Simplement, tu utilises l'inégalité de Hölder :

|\int_J h_n| \leq ||h_n||_p||\textbf 1_J||_q\leq M(b-a)

Donc par convergence dominée, \int_J^{} h_n \rightarrow 0

Posté par
jsvdbre : topologie faible dans Lp 03-11-18 à 01:53

Oops, le théorème de convergence dominée ne peut pas s'appliquer ici

Posté par
jsvdbre : topologie faible dans Lp 03-11-18 à 03:12

Soit K un compact de \Omega et \varepsilon > 0.

On pose K_{n,\varepsilon} =\{x\in K~/~|h_n(x)| \leq \varepsilon\}

On a alors \bigcup_{n\in \N}K_{n,\varepsilon} = K (à un ensemble de mesure nulle près)

Et quitte à extraire une sous-suite, K_{n,\varepsilon} \subset K_{n+1,\varepsilon}

Donc on peut trouver N_\varepsilon \in \N,~ \forall n >N_\varepsilon, \lambda(K-K_{n,\varepsilon}) \leq \varepsilon

Il suit :

\int_K |h_n(x)| = \int_{K-K_{n,\varepsilon}} |h_n(x)|+\int_{K_{n,\varepsilon}} |h_n(x)| \leq \varepsilon.M + \varepsilon.\lambda(K)

Donc, pour tout compact K \subset \Omega, \int_\Omega^{} h_n\textbf{1}_K \rightarrow 0

On en déduit de facto que pour toute fonction test \phi, \int_\Omega^{} h_n\phi \rightarrow 0

jsvdb @ 01-11-2018 à 23:25

Il faut tout de même conclure.

Tu peux donc écrire que pour g \in L^q(\Omega) et \varepsilon > 0, on peut trouver \phi \in \red \mathcal D(\Omega) tel que ||g-\phi||_q < \varepsilon.


|\int_\Omega h_n.g~d\lambda| = |\int_\Omega h_n(g-\phi + \phi)d\lambda|\leq ||h_n||_p.||g-\phi||_q + \int_\Omega^{} h_n\phi \leq \varepsilon.M+\int_\Omega^{} h_n\phi, la seconde quantité tendant vers 0 avec n.

Conclusion : f_n \rightharpoonup f dans L^p(\Omega)

Posté par
Saigare : topologie faible dans Lp 03-11-18 à 09:42

Bonjour jsvdb,

Comment arrives-tu à : \bigcup\limits_{n\in \mathbb{N}}K_{n,\epsilon}=K ?

Tout ce que je peux écrire c'est : K=\left( \bigcup\limits_{n\in \mathbb{N}} K_{n,\epsilon}\right) \cup \left( \bigcup\limits_{n\in \mathbb{N}} {}^cK_{n,\epsilon} \right) le second terme de cette union est-il bien l'ensemble de mesure nul dont tu parles ?

et je ne comprends pas le "quitte à extraire une sous-suite on a : K_{n,\epsilon}\subset K_{n+1,\epsilon}"...

Posté par
jsvdbre : topologie faible dans Lp 03-11-18 à 16:23

Je travaille, pour commencer, uniquement dans un compact K fixé.
Ensuite, on dit que h_n converge vers 0 pp sur \Omega.
Donc, il existe un ensemble N, \lambda-négligeable tel que h_n converge partout sur \Omega-N.
Par suite l'ensemble négligeable dont je parle vis-à-vis de K est K-N.

Comme N est négligeable, ce qui se passe dessus, on s'en moque, et on fait comme si h_n convergeait partout vers 0 sur \Omega.

Si tu ne le souhaites pas, tu peux redéfinir K := K - N et h_n converge partout sur ce K (qui n'est plus forcément compact, mais reste borné).

Donc je travaille comme si cet ensemble N n'existait pas et je considère que la suite h converge partout sur \Omega vers 0.

Je vais redéfinir autrement K_{n,\varepsilon}, ce qui va éviter de parler de sous-suite :

K_{n,\varepsilon} =\{x\in K~/~\forall p \geq n,~|h_p(x)| \leq \varepsilon\} (*)

Il est clair, du fait de la convergence simple vers 0 de la suite h, que la suite n \mapsto K_{n,\varepsilon} est croissante au sens de l'inclusion et la réunion de cette famille est clairement K (sinon, il existerait un x qui ne vérifierait pas que h_n(x) tend vers 0)

Comme \lambda(K) < \infty, alors on peut trouver N_\varepsilon \in \N,~ \forall n >N_\varepsilon, \lambda(K-K_{n,\varepsilon}) \leq \varepsilon

La suite est inchangée.
_____________________________________

(*) en définissant K_{n,\varepsilon} =\{x\in K~/~|h_p(x)| \leq \varepsilon\}, il est possible que cette suite ne soit pas croissante au sens de l'inclusion. En effet, un x pourrait très bien se trouver dans un K_{n,\varepsilon}, ne plus être dans les p suivants et revenir définitivement ensuite. Donc il faut extraire des suites de cette suite pour trouver une suite croissante.
Cela dit, la réunion de cette famille est K quoi qu'il arrive.

Posté par
Saigare : topologie faible dans Lp 03-11-18 à 16:51

Ah ok d'accord, j'ai pigé le truc !

Merci !


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