Soit X un ensemble non vide muni de la topologie grossière . Supposons qu'on ait une distance  d  sur X qui engendre cette topologie. Soit x dans X et soit r>0. Alors la boule ouverte de rayon r qui est est un ouvert non vide (il contient x), c'est donc X. Donc pour tout r>0 et tout y de X on aurait d(x,y)<r. En faisant tendre r vers 0 on aurait d(x,y)=0, ainsi x=y. Donc X ne contient que l'élément x.
Il est donc impossible que la topologie groosière sur X soit métrisable si X contient plus d'un élément.  S'il n'en contient qu'un, disons x, c'est métrisable, avec comme distance d(x,x)=0.

merci stokastik,je suis d'accord avec vous jusqu'a le faite que X ne contient que l'élément x,mais j'ai pas compris la suite,d'ou vient l'absurde?

bonjour;
je viens de comprendre,en effet:
Dans une métrique, tout ouvert contient une boule ouverte de rayon r>0, ce qui n'est bien sur pas le cas des singletons.

Donc, une topologie telle que tous les singletons sont des ouverts ne peut pas être issue d'une métrique.n'es pas c'est la d'ou viens l'absurde.

Bonjour
Il y a confusion! La définition de stokastik est correcte. Justement, aucun singleton n'est ouvert. La contradiction vient du fait qu'un espace métrique est séparé c'est-à-dire si x et y sont distincts il existe des ouverts U et V tels que , et . Evidemment ce n'est pas le cas d'un espace grossier.

En revanche la topologie pour laquelle tous les singletons (et donc toutes les parties) sont des ouverts, qui s'appelle topologie discrète provient, elle, de la distance définie par d(x,x)=0 et d(x,y)=1 si x est différent de y.

ah bon!!mais la topologie grossière n'est pas métrisable.

C'est bien ce que nous disons. Le seul cas ou elle l'est, et celui trivial d'un espace qui a un seul point!