Deux normes équivalentes induisent forcément la même topologie. Plus généralement : distance équivalente => même topologie

  Pour la réciproque, non, il existe des cas de distances non équivalentes qui engendrent la même topolgie.

Exemple si je ne me trompe pas : sur , les normes |x-y| et |arctan(x) - arctan(y)| ne sont pas équivalentes mais engendrent la même topologie.

Ah pardon ce sont des distances et pas des normes.

... d'ailleurs en dimension finie on ne trouvera pas de contre-exemples avec des normes.

Mais ne peut-on pas reprendre le même exemple en considérant les normes |x| et |arctan(x)|?
Ces normes ne sont pas équivalentes mais engendrent la même topologie non?

Ah non, sauf erreur |arctan(x)| n'est pas une norme car une norme doit vérifier ||ax||=|a|*||x||, ce que ne vérifie absolument pas |arctan(x)|.