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[Topologie] Notions de début ...

Posté par
monrow Posteur d'énigmes 19-04-08 à 16:11

Bonjour tout le monde,

Bon, on vient juste de commencer un peu de topologie ... Bon je veux avoir un petit bon début ... Donc j'aurais plus ou moins des petites questions à poser ici pour profiter de vos connaissances en cette matière

Je commence avec un petit truc que je veux démontrer :

3$\rm\blue\fbox{Toute boule ouverte est un ouvert}

Bof, pour montrer que qu'une partie O est ouverte, i faut justifier que pour tout x de O il existe un r positif tel que: B(x,r)\subset O

mais bon j'arrive pas trop ...

Merci

Posté par
ottore : [Topologie] Notions de début ... 19-04-08 à 16:18

Bonjour, prend un point x dans ta boule et appelle r la distance de ce point x à la frontiere.
Maintenant c'est relativement clair que la boule de centre x et de rayon r/3 est dans la boule de départ.

Sinon en passant par le complémentaire c'est facile aussi:

si x_n est à une distance >=r de x, et si x_n converge alors la limite sera à une distance >=r de x.

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : [Topologie] Notions de début ... 19-04-08 à 16:25

Salut otto

tes deux démos sont claires

il y a une remarque qui dit que l'intersection finie de boules ouvertes n'est pas toujours une boule ouverte .. y a-t-il des contre exemples simples à envisager?

Posté par
romure : [Topologie] Notions de début ... 19-04-08 à 16:31

Salut monrow,

tu peux regarder avec la norme sup sur \mathbb{R}^2,

tu regardes les boules B\((0,0),1\) et B\((1/2,0),1\).

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : [Topologie] Notions de début ... 19-04-08 à 16:38

salut romu

oui c'est vrai

Posté par
ottore : [Topologie] Notions de début ... 19-04-08 à 18:10

Géométriquement c'est très clair.
Cependant, il ne faut pas se faire avoir, une intersection de boule ouverte n'est pas nécessairement une boule ouverte mais c'est toujours un ouvert !!


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