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Topologie (ouverts)
Bonjour,
Je suis bloqué pour cette question ;
On considère les normes N1 et Ninfini pour l'espace vectoriel des fonctions continues de (0,1) dans R.
En utilisant des inclusions de boules et la définition d'un ouvert, montrer que tout ouvert pour N1 est un ouvert pour Ninfini.
Je ne vois pas du tout comment faire...
Je vous remercie par avance
Bonjour marcsa.
En utilisant des inclusions de boules et la définition d'un ouvert
Alors écris, toujours aussi proprement, la définition d'un ouvert pour ces deux normes
Puis en remarquant que N1(f)=
|f(t)|dt 
N
(f) que peux tu dire sur des inclusion éventuelles de boules ?Soit À un ouvert de E
Pour N1: 
f
A, 
r>0, {gE||f(t)-g(t)|dt <r}
A
Pour N
fA, r>0, {gE|sup|f(t)-g(t)|<r}A
Je ne vois pas ce qu'on peut dire sur l'inclusion
Tout ouvert O pour n'importe quelle norme est tel que tout point x de O contient, par définition, une boule de centre x et de rayon r > 0.
Donc si une boule selon une norme contient une autre boule selon une seconde norme, alors tout ouvert selon la première norme sera un ouvert selon la seconde.
Maintenant, le tout est de savoir qui contient qui. Donc écris la définition d'une boule ouvert pour ces deux normes. Et regarde qui contient qui.
Tuyau : toute boule centrée en x étant une translatée d'une boule centrée en 0, tu peux te contenter d'écrire la définition d'une boule centrée en 0 et regarder qui contient qui
Je ne comprends pas bien, j'ai déjà écris Les définition des boules ouvertes pour chaque norme dans mon post d'avant
Oui j'essaie mais ça fait 1h que je bloque dessus, je ne comprends rien à la topologie!
C'est pourquoi je me tourne vers vous pour solliciter votre aide ...
Comme ||f||1<||f||
alors ||f||1<r ?Bah oui
Or, écrire
De même, écrire
Conclusion ?
Soit donc un ouvert O pour .
Alors pour tout , O contient une certaine boule
.
Or on vient de voir que
On écrit alors que
Or est une boule ouverte de E muni de la topologie
.
Donc est un ouvert de E muni de la topologie
et donc
Conclusion : comme O est totalement arbitraire dans , on a bien que tout ouvert pour
est ouvert pour
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