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Topologie (pour ceux qui s'entrainent)

Posté par
Camélia Correcteur 07-03-07 à 14:06

Bonjour

Soient A et B des parties non vides d'un espace vectoriel normé. On pose

\Large A\bullet B=\bigcup_{(a,b)\in A\times B} [a,b]

où, comme d'habitude, [a,b]={(1-t)a+tb | t [0,1]}.

1) Montrer que si A et B sont des ouverts, alors A\bullet B est ouvert.

2) Donner un exemple où A et B sont fermés, mais A\bullet B ne l'est pas.

3) Montrer que si A et B sont compacts, A\bullet B est compact.

4) Montrer que A\bullet B est connexe.

Posté par
Cauchyre : Topologie (pour ceux qui s'entrainent) 07-03-07 à 15:52

Bonjour,

tout le monde peut jouer?

Posté par
Camélia Correcteurre : Topologie (pour ceux qui s'entrainent) 08-03-07 à 17:01

Rebonjour
Comme je n'offre aucun prix, tout le monde peut jouer. Les plus rapides s'amusent plus et ont droit à toute notre admiration!

Posté par
Cauchyre : Topologie (pour ceux qui s'entrainent) 09-03-07 à 21:10

Hier j'étais près à affirmer quelque chose mais en fait c'était n'importe quoi

Pour la 1),donc si x est dans 3$A \bullet B alors il existe a dans A et b dans B tel que 3$x \in [a,b] et donc 3$x=ta+(1-t)b avec 3$t \in [0,1].

A étant ouvert il existe 3$r_1>0 tel que 3$B(a,r_1) \subset A et de meme il existe 3$r_2>0 tel que 3$B(b,r_2) \subset B.

On pose 3$r=min(r_1,r_2),montrons que 3$B(x,r) \subset A\bullet B.

Soit alors 3$z \in B(x,r) montrons que 3$z \in A\bullet B.

On a 3$z=x+(z-x),on pose 3$a_1=a+(z-x) et 3$b_1=b+(z-x),donc 3$a_1 est dans 3$B(a,r_1),de meme 3$b_1 est dans la boule 3$B(b,r_2).

Donc le segment 3$[a_1,b_1] est dans 3$A\bullet B en particulier 3$z=ta_1+(1-t)b_1 y est.

On a bien 3$ta_1+(1-t)b_1=ta+t(z-x)+(1-t)(z-x)+(1-t)b=x+z-x=z.

Donc 3$A\bullet B est ouvert.

Posté par
Cauchyre : Topologie (pour ceux qui s'entrainent) 09-03-07 à 21:12

Pour la 2) j'ai pas le temps de développer le contre-exemple la mais je prend la boule unité fermée de R² et les points (0,n).

Posté par
Cauchyre : Topologie (pour ceux qui s'entrainent) 10-03-07 à 02:18

De retour pour développer ce point,

Donc je prend A=D(0,1) le disque unité fermé de R² et 3$B=\{(n,0),n \in \mathbb{N}\}.

Alors 3$A \bullet B n'est pas fermé.

En effet la suite de points 3$((1-\frac{1}{n})(0,1)+\frac{1}{n}(n,0)=(1,1-\frac{1}{n}))_{n \in \mathbb{N}} de 3$A \bullet B converge vers 3$(1,1) qui n'est pas dans 3$A \bullet B.

Posté par
Cauchyre : Topologie (pour ceux qui s'entrainent) 10-03-07 à 03:04

Pour la suite se place-t-on en dimension finie sur un R-ev et alors il suffirait de montrer que 3$A \bullet B est fermé borné.

Pour la 4),je montre la connexité par arcs et même par lignes brisées.

Soient 3$x,y \in A \bullet B alors il existe 3$a,a' \in A et 3$b,b' \in B tels que 3$x \in [a,b] et 3$y \in [a',b'].


La ligne brisée 3$[x,a] \cup [a,a'] \cup [a',y] dans 3$A \bullet B relie alors x à y donc 3$A \bullet B est connexe.

Voila pour l'instant, j'attend tes commentaires

Posté par
veledare:topologie(pour ceux qui s'entrainent) 10-03-07 à 14:14

bonjour,
1)même dm que Cauchy
2) contre exemple   sauf erreur
Dans R² A={(0,0)} B={(1,y),y decrit R } A et B sont fermés dans R².
Soit P (0,1) on va montrer que P est adhérent à A.B
Soit r>0 quelconque et r'<inf(r,1)
la droite d'équation y=(2/r')x rencontre B en (1, 2/r'>1) et le segment défini par  y=(2/r')x , 0x1 appartient à A.B
la boule ouverte de centre (0,1) et de rayon r rencontre ce segment par exemple en (r'/2,1) et d((0,1),(r'/2,1)) = r'/2<r'<r   donc P est adhérent à A.B  or P ne peut appartenir à A.B

j'avais ce contre exemple hier mais impossible de le poster jusqu'à ce midi

Posté par
Cauchyre : Topologie (pour ceux qui s'entrainent) 10-03-07 à 14:22

Bonjour,

veleda ton contre-exemple c'est un peu la même idée j'ai pris une boule car c'est comme ca que j'ai trouvé mais ca m'a pas servi

Posté par
Camélia Correcteurre : Topologie (pour ceux qui s'entrainent) 10-03-07 à 16:50

Bonjour Cauchy et veleda

Pour 1) rien à dire, vous avez raison. Les contrexemples sont OK. (Le mien: A={(0,0)}, B={(x,1/x)|x+[sup][/sup]*). Dans tous ces exemples l'un des fermés est compact ce qui montre que ce n'est pas comme pour A+B.

La compacité marche en n'importe quelle dimension.

Enfin, je ne suis pas d'accord avec la démonstration de Cauchy pour la connexité, car, n'ayant rien supposé sur A, on ne sait pas que [a,a']est dans le truc. D'ailleurs, si A est formé exactement de 2 points, ce n'est pas le cas. (En revanche, c'est vrai que c'est connexe par ligne polygonale).

J'attends un peu avant de finir le corrigé.

A bientôt.

Posté par
Cauchyre : Topologie (pour ceux qui s'entrainent) 10-03-07 à 18:22

Bonsoir Camelia,

il me semblait bien que j'avais été trop vite ca paraissait trop simple faut que je revois ca

Posté par
Cauchyre : Topologie (pour ceux qui s'entrainent) 11-03-07 à 00:37

Et si en reprenant mes notations précédentes je prends la ligne polygonale suivante:

3$[x,a]%20\cup%20[a,b']%20\cup%20[b',y] je pense que la c'est correct j'ai pas pris le bon chemin hier

Posté par
Cauchyre : Topologie (pour ceux qui s'entrainent) 11-03-07 à 03:23

Pour la compacité,A et B étant compacts on a alors A*B qui est compact.

J'ai bien une petite idée si on a une suite x_n de points de A.B  dans [an,bn] en utilisant qu'on peut extraire une sous-suite (a_nj,b_nj) qui converge vers (a,b) et ensuite nos x_n se balladent proche de [a,b] et on peut surement en tirer quelque chose mais je vais me coucher la

J'avais un plan B pour montrer que c'est précompact je paufinerai ca.

Posté par
Camélia Correcteurre : Topologie (pour ceux qui s'entrainent) 11-03-07 à 14:34

Bonjour Cauchy

Pour la connexité, maintenant c'est OK. Pour la compacité, on peut s'entirer avec Bolzano-Weierstrass, mais il y a beaucoup plus simple!

Posté par
Cauchyre : Topologie (pour ceux qui s'entrainent) 11-03-07 à 15:29

Bonjour Camélia,

pour la compacité je tente une autre voie:

A et B étant compacts alors 3$A*B*[0,1] est compact et 3$A \bullet B est l'image de ce compact par l'application continue:

3$f:A*B*[0,1]\rightarrow E
3$(a,b,t) \rightarrow ta+(1-t)b

Posté par
Camélia Correcteurre : Topologie (pour ceux qui s'entrainent) 11-03-07 à 15:31

Bien sûr!

Posté par
Cauchyre : Topologie (pour ceux qui s'entrainent) 11-03-07 à 15:32

Super

Pourquoi je cherchais si compliqué,et bien je suis content j'ai fini cet exo sympathique

Merci pour l'exo


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