Bonsoir

Je pense qu'on peut d'abord montrer que est homéomorphe à avec une application strictement croissante qui envoie [0,1[ sur [0,+oo[, puis par projection stéréographique on aura que est homéomorphe à .

Sans garantie.

Fractal

bonsoir Fractal,

merci pour cette réponse, je vais suivre ta piste.

Salut romu,

tu quotientes ta boule unité par la relation R en fait?

Je ne comprends pas le sens de ton quotient sinon.

Salut Fractal

Salut Tigweg
Oui, il quotiente la boule unité par la relation R.
Quand on quotiente un espace topologique X par la relation d'équivalence qui consiste à identifier tous les points d'une partie A en un seul, on note souvent l'espace quotient X/A, pour simplifier, la relation d'équivalence étant sous entendue.

Fractal

Salut Greg,

oui désolé j'ai oublié de préciser, je quotiente par et je note l'espace quotient (on identifie tous les points de la sphère).

OK, en fait dans ces conditions il vaut mieux considérer l'application de ]-1;1[ dans R définie par

mais pourquoi vous considérez des fonctions réelles alors que le problème se situe dans , j'ai du mal à saisir le lien

Je retire ce que j'ai dit, Fractal avait raison de se limiter à [0;1[.

Tout vecteur de privé de s'écrit de manière unique sous la forme avec et .

On pose alors pour tout x entre -1 et 1 et

pour tout vecteur u de la sphère-unité.

Ok c'est déjà un peu plus clair, merci greg,

je regarde ça plus en détail.

C'est Fractal qui a eu toutes les idées, mais avec plaisir!

D'ailleurs j'aurais dû écrire (00h17) :

Citation :
On pose alors pour tout x entre 0 et 1

Et si vous aimez les grosses formules moches, voici explicitement l'homéomorphisme recherché :

Pour tout on pose pour simplifier les notations.
Alors est un homéomorphisme de dans .

Je vous laisse le plaisir de vérifier que f est bien définie, bijective, continue et de réciproque continue

_{Sauf erreur ^^}

Fractal