À ta surjection est associée une relation d'équivalence (et réciproquement une surjection est canoniquement associée à toute relation d'équivalence donnée).
Et tu as un isomorphisme entre X/~ et Y. Pour être tout à fait clair, elle est donnée par x~y ssi q(x)=q(y).


Prends la relation d'équivalence qui envoie sur et telle que 0 et 1 ont la même classe. Ca revient à demander que et q(0)=q(1).
Quitte à composer q par une bijection qui réordonne tout ça, on est si tu veux dans la situation où q(x) = x sur ]0,1[ et

A quoi est homéomorphe le quotient à quoi à ton avis ? Sachant ce que j'ai mis en rouge, ça te dit à quoi ressemble Y avec cette topologie.

Merci pour ta réponse,

Je dirais que X/~ ressemble à un cercle obtenu en joignant 0 et 1 ensemble, mais je dis cercle comme ça, je vois pas pourquoi ce serait pas une forme quelconque joignant 0 et 1.

On a bien que X/~={{x}|x]0,1[}{0,1} non ?
Pourquoi pas essayer f:X/~S¹ définie par :
f({x})=e^2xi si 0<x<1
f({0,1})=1 sinon
comme homéomorphisme

Bonjour,

Ton premier post n'est pas très correct.

On a un espace topologique et une application surjective (on ne la suppose pas continue au départ). La topologie quotient sur donnée par est la topologie la plus fine rendant l'application continue, c.-à-d. la topologie dont les ouverts sont les parties de telles que soit ouvert dans .

Dans ton exemple, tu n'as pas donné l'application . On suppose que c'est l'application définie par si et .
Tu peux effectivement démontrer que défini par si et est un homéomorphisme.

Oui on ne la suppose pas continue c'est vrai.

A ce propos, si on suppose que est continue sur une topologie , et qu'on prend un ouvert de la topologie quotient, on a que donc
Donc
Mais si , on a également par continuité de donc par définition de la topologie quotient.
J'ai donc l'impression que c'est la seule topologie qui rend continue. Et j'ai du mal à voir intuitivement pourquoi elle est fine, puisque j'ai l'impression qu'on prend tous les ouverts possibles de Y dans la topologie quotient.

D'accord merci

Je me doute que c'est faux, mais je ne vois pas pourquoi. Les arguments sont simples, et si je pose la question ici c'est que je n'arrive pas à voir pourquoi j'ai tort. Je suis conscient que je n'utilise pas la surjectivité dans mon raisonnement, mais peut être qu'elle ne sert que pour montrer que la topologie quotient est bien une topologie.

Puisqu'il faut mettre les points sur les i :

raisinsec @ 17-02-2021 à 16:58

on a que donc

C'est toujours mieux.

J'avais mal compris le sens de topologie la plus fine, que je voyais comme topologie la plus grossière, donc j'ai du mettre ça pour faire marcher le théorème, à mon sens c'était le 2ème paragraphe qui était faux. C'est bon maintenant.

Merci, et je suis vertigineusement attristé de vous avoir fait mettre les points sur les i.

As-tu vraiment vu ton erreur ?

Ton "donc" veut dire que tu raisonnes de la manière suivante :  si est continue et si est ouvert, alors est ouvert.

On a aucune garantie que , il faudrait supposer par exemple que soit ouverte.
La définition de continuité nous dit que si est ouvert, est ouvert, pas l'inverse.

Bon, maintenant as-tu compris l'erreur de ton donc dans le premier paragraphe de ton message ci-dessus ?

Par ailleurs, il n'est pas vrai que supposer ouverte arrangerait les choses.

C'est ce que j'essayais de dire, le donc n'est pas vrai car l'implication est dans l'autre sens. Ici on ne peut pas dire que si _X alors

Ah bon ? Si l'application est ouverte on a pourtant que si , _X, et comme est ouverte on a or comme est surjective,

Oui, tu as raison pour le cas d'une application ouverte. J'avais oublié la surjectivité.
L'exemple n'est pas une application ouverte.

D'accord merci.