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topologie quotient
Bonjour Bonjour.
Il m'a été demandé de dire avec justification ou bien avec discussion si les topologies quotient X/A suivantes obtenues en identi-
fiant un sous ensemble A de X a un point sont Hausdorff separes:
a) X = IR et A = ouvert propre et non vide quelconque de IR.
b) X espace topologique quelconque et A = X.
c) X espace topologique quelconque et A = ∅.
Mon problème est que je n'arrive pas à bien comprendre cette relation d'équivalence et du coup j'arrive pas à raisonner sur une quelconque séparation.
En cours mon professeur dit que la relation R est défini par
R=A×A ∪{(x,x) ,x ∉ A}
j'arrive pas à comprendre voir utiliser cette definition. j'aimerais qu'avec ces exemple vous m'aidez à mieux comprendre cette relation
Bonjour.
x et y sont en relation ssi (x,y) appartient à R.
Ici, x et y sont donc en relation ssi l'une des deux conditions est vérifiée :
- x et y appartiennent à A
ou
- x n'appartient pas à A et y=x
Bonjour.
x et y sont en relation ssi (x,y) appartient à R.
Ici, x et y sont donc en relation ssi l'une des deux conditions est vérifiée :
- x et y appartiennent à A
ou
- x n'appartient pas à A et y=x
Oui effectivement merci je l'avais aussi remarqué ! Je me demande comment l'utiliser pour appréhender les problèmes qu'on m'a posé ?
Les classes d'équivalence pour cette relation sont l'ensemble A, ainsi que tous les singletons {x} pour x n'appartenant pas à A.
De manière équivalente,
.
C'est une manière de rendre indistinguables les différents points de A, puisque deux points différents de A sont maintenant vus comme l'ensemble A entier, tandis que tout point x n'appartenant pas à A est associé au singleton {x}, donc garde en quelque sorte son identité propre.
Prenons par exemple l'exemple a) avec A=]0,1[. Les éléments de ]0,1[ deviennent indistinguables, et on prend par exemple 1/2 comme représentant. Il peut être alors plus clair de se représenter l'ensemble quotient comme par exemple l'ensemble . A priori, aucune raison que les ensembles X/A et X' aient strictement les mêmes propriétés, mais la topologie quotient est pensée pour que dans ce genre de situation, ils aient les mêmes propriétés topologiques.
Les classes d'équivalence pour cette relation sont l'ensemble A, ainsi que tous les singletons {x} pour x n'appartenant pas à A.
De manière équivalente,
C'est une manière de rendre indistinguables les différents points de A, puisque deux points différents de A sont maintenant vus comme l'ensemble A entier, tandis que tout point x n'appartenant pas à A est associé au singleton {x}, donc garde en quelque sorte son identité propre.
Prenons par exemple l'exemple a) avec A=]0,1[. Les éléments de ]0,1[ deviennent indistinguables, et on prend par exemple 1/2 comme représentant. Il peut être alors plus clair de se représenter l'ensemble quotient comme par exemple l'ensemble
Génial alors. Ça commence à être claire !
Par exemple avec le cas que vous avez pris justifier la separabilité revient avec justifier que l'ensemble quotient obtenu est séparé pour la topologie usuelle de IR?
Plutôt séparation (caractère de ce qui est séparé) que séparabilité (caractère de ce qui est séparable).
On est bien d'accord, les ensembles X/A et X' (dans mon exemple ci-dessus) ne sont pas égaux. C'est juste que X' est une manière un peu plus simple de visualiser X/A. On voit assez facilement que muni de la trace de la topologie usuelle sur , X' est séparé (puisque c'est un sous-ensemble de
qui est séparé pour la topologie usuelle). Mais pour en déduire que X/A est lui aussi séparé, il faudrait montrer par exemple que X/A et X' sont topologiquement équivalents, ce qui suffit.
Sinon, il est toujours possible de revenir à la définition de la topologie quotient, et de le montrer directement sur X/A, en s'inspirant de ce qui se passe dans X'.
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