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Topologie : si f est continue, sa courbe est une partie fermée
Bonjour !
J'ai une fonction f:[a,b]->R bornée (R étant l'ensemble des réels), et Cf sa courbe représentative.
Comment puis-je faire pour montrer que si f est continue sur [a,b], alors Cf est une partie fermée de R² pour la distance usuelle ?
Je pensais montrer que le complémentaire est un ouvert, et montrer que si A est un point de la courbe, alors il existe une boule ouverte qui ne rencontre jamais la courbe.
Seulement je ne sais pas trop comment m'y prendre !
De plus, je pense qu'il faut utiliser le fait que tout fonction continue sur un intervalle est bornée et atteint ses bornes, mais je ne vois pas comment l'intégrer là-dedans ?
Pourriez-vous m'aider svp ?
Merci
Bonjour
Voilà une démonstration tout-à-fait générale.
Soit F: [a,b]
R 
R définie par F(x,y)=y-f(x). Bien sur, si f est continue, F est continue. Il est immédiat que Cf=F-1({0}) et on sait que l'image réciprique d'un fermé par une fonction continue est fermée.
Bonjour
Merci beaucoup pour cette idée !
Mais est-ce suffisant car on ne s'est pas servi de l'hypothèse que f est bornée, et je pense que si on précise cette hypothèse, c'est qu'elle doit être utile non ?
J'ai été plutôt étonnée par ton énoncé. Une fonction continue sur [a,b] est forcément bornée! Alors c'est peut-être le début d'une autre histoire!
Et ne pourrait-on pas dire aussi que [a,b] est un compact.
Et comme f est continue, alors f([a,b]) est un compact, donc fermé (à démontrer mais je pense savoir le faire).
D'où la courbe représentative Cf={(x,y), x€ [a,b] /y=f(x) } est la même chose que f([a,b]) donc Cf est un compact et donc fermée.
Est-ce que cette démonstration pourrait aller ?
(enfin on ne se sert toujours pas de l'hypothèse que f est bornée...)
Oui en effet je n'y avais même pas pensé, f est forcément bornée...
Peut-être alors se sert-on de cette hypothèse pour montrer la réciproque
Non, f([a,b]) est une partie de R et ce n'est pas du tout la courbe!. ma démonstration, justement n'utilise pas le fait que [a,b] est compact! elle marche pour toute fonction continue à valeurs dans un espace métrique.
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