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Topologie sur des matrices

Posté par
1 Schumi 1 22-12-07 à 11:29

Bonjour à tous,

Je suis en train de faire un vrai blocage sur l'exo suivant:

Citation :

Dans \rm\mathfrak{M}_n(\mathbb{K}), \rm\mathbb{K}=\mathbb{R} ou \rm\mathbb{C}, montrez que l'ensemble des matrices inversibles \rm GL_n(\mathbb{K}) est un ouvert, que l'ensemble des matrices symétriques (auto-adjointes) est un fermé. Si \rm P\in\mathbb{K}[X], montrez que \rm\{A\in\mathfrak{M}_n(\mathbb{K}), P(A)=0\} est un fermé. Montrez que l'application \rm A\to A^{-1} est continue sur \rm GL_n(\mathbb{K}).



Bon, déjà pour la première question: "montrez que l'ensemble des matrices inversibles \rm GL_n(\mathbb{K}) est un ouvert". Euh, moi je veux bien, mais ils définissent même pas la topologie sur laquelle on se place. Je suis censé la trouver aussi celle-là ou il y a une topologie "naturelle" sur \rm\mathfrak{M}_n(\mathbb{K})?

En fait, c'est la même incompréhension pour le reste de l'exo.

Je suis en plein délire?

Merci d'avance.

Ayoub.

Posté par
romure : Topologie sur des matrices 22-12-07 à 11:36

salut, oui il doit y a avoir une topologie naturelle, avec les normes de matrices.

Posté par
1 Schumi 1re : Topologie sur des matrices 22-12-07 à 11:37

Salut romu,

Et c'est qui cette topologie?

Posté par
romure : Topologie sur des matrices 22-12-07 à 11:41

ben M_n(K) est un espace vectoriel normé de dimension finie.

Posté par
1 Schumi 1re : Topologie sur des matrices 22-12-07 à 11:56

Des fois je pose des questions, non mais franchement, j'en ai honte!

Posté par
romure : Topologie sur des matrices 22-12-07 à 13:38

Posté par
jeansebre : Topologie sur des matrices 22-12-07 à 14:48

Bonjour

Citation :
Des fois je pose des questions, non mais franchement, j'en ai honte!


Je ne crois pas qu'il faille avoir honte, puisque la norme choisie sur Mn(K) n'est pas précisée dans l'énoncé. Bon, vu qu'on est en dimension finie, les normes sont équivalentes, donc déterminent la même topologie, mais ce n'est pas trivial comme approche d'un tel énoncé.

Pour la 1, la continuité de l'application déterminant fera l'affaire.

Posté par
cohlarre : Topologie sur des matrices 22-12-07 à 19:40

Pour la 3, sers-toi de l'expression que tu dois connaître de A-1 en fonction de A. ^^

Posté par
jeansebre : Topologie sur des matrices 22-12-07 à 20:43

Pour les matrices symétriques, c'est assez simple: tout espace vectoriel de dimension finie est fermé. Donc l'ensemble des matrices symétriques( ou auto-adjointes) est fermé.

Posté par
jeansebre : Topologie sur des matrices 22-12-07 à 20:55

Pour la 2, il me semble que l'application polynomiale P est continue (chaque puissance d'une matrice a pour coefficients des polynomes en les coefficients de A)et donc l'ensemble considéré est l'image réciproque du singleton {0} qui est un fermé par une fonction continue, donc cet ensemble est fermé.

Posté par hxtbvqc (invité)determinant 30-12-07 à 15:11

essaye de démontrer la continuité du detereminant. Et par consquent {M,det(M)} est un ouvert.
Puis tu peut exprimmer l'inverse de la matrice à l'aide de determinant on le voit lors du pivot de gauss.


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