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Topologie sur Z

Posté par
Arthur68329 12-10-22 à 11:59

Bonjour, je bloque sur un exercice:

Énoncé :

Pour a ∈ Z et b ∈ N∗ on pose       Fa,b = {a + nb : n ∈ Z} = {x ∈ Z : x ≡ a mod b}.

1. Pour a1,a2 et pour b1,b2*, montrer que :

F_{a_{1},b_{1}}\bigcap{F_{a_{2},b_{2}}} = \bigcup_{s\in F_{a_{1},b_{1}}\bigcap{F_{a_{2},b_{2}}} }^{}{F_{s,b_{1}b_{2}}}

2. Sur Z on introduit la topologie suivante : une partie U ⊆ Z est ouverte si elle est vide ou bien union quelconque d'ensembles de la forme Fa,b (avec, comme avant, a ∈ Z et b ∈ N∗), i.e
T  = {U ⊆ Z : U est vide ou réunion d'éléments Fa,b}

Démontrer que ceci définit une topologie sur Z. On utilisera cette topologie pour le reste de l'exercice.

3. Pour a ∈ Z et b ∈ N∗ identifier le complémentaire de :

( \bigcup_{i=1}^{b-1}{F_{a+i,b}} )

puis décider si les parties Fa,b sont des fermés de Z.

4. Identifier la partie \bigcup_{p,premier}^{}{F_{0,p}}

5. Avec un raisonnement topologique, en déduire par l'absurde que l'ensemble des nombres premiers est infini.

Mon travail :

1. Se vérifie facilement par équivalence.

2. L'ensemble vide appartient à T par définition.
On peut écrire Z comme la réunion des Fa,0 avec a . Donc Z appartient à T.

La réunion d'élément de T est dans T : c'est immédiat par définition.

Je bloque pour montrer que l'intersection d'éléments de T est dans T, je pressens qu'il faut se servir de la question 1. mais je ne vois pas comment...

3. J'ai regardé ce que valait l'union pour a=0, j'ai trouvé que c'était l'ensemble des entiers qui ne sont pas congru à 0 mod b .
Alors par passage au complémentaire, ( \bigcup_{i=1}^{b-1}{F_{i,b}} )  = b .

Je l'ai donc généralisé :

/ ( \bigcup_{i=1}^{b-1}{F_{a+i,b}} )  = a

Le complémentaire de a est un ouvert ( c'est un réunion finie d'ensembles Fa,b ) , donc a est fermé. Comme on peut ecrire a = F0,a , j'en ai déduis que les parties Fa,b sonts des fermés de Z.

4. Les  F0,p sont les multiples des nombres premiers, ça me semble évident que :
\bigcup_{p,premier}^{}{F_{0,p}} =

mais je ne vois pas trop comment le prouver.

5. Je pense qu'il faut utiliser la question 4, mais comme je ne l'ai pas finie, je préfère attendre vos retours.

Merci de votre temps.

Posté par
Ulmierere : Topologie sur Z 12-10-22 à 12:16

Il faut montrer que tout intersection FINIE d'éléments de T appartient à T

Prends n un entier et I_1,\dots, I_n n sous-ensembles de \Z\times\N^\ast.
Montre que \bigcap_{j=1}^n \bigcup_{(a,b)\in I_j} F_{a,b} est une réunion (quelconque ou vide) d'ensembles de la forme F_{u,v}. On a clairement envie de faie une interversion union-intersection. Pour ça il faut se servir de la question a)



Pour la 3), x appartient à l'union des F_{a+i,b}
si et seulement s'il existe i\in[\![1, b-1]\!] tel que x est congru à a + i modulo b
si et seulement s'il existe i tel que x - a \equiv i [b]
si et seulement si x-a appartient à l'union des F_{i,b}

Donc la réunion que tu cherches est égale à a + \bigcup F_{i,b} = a + b\Z, et non à a\Z. Même chose pour ta déduction du fait que les F_{a,b} sont fermés à partir de F_{0,a}, qui me semble bâclée



Pour la 4), fais comme au 3). x appartient à l'union si et seulement s'il existe ...
C'est incompatible avec ton affirmation selon laquelle la réunion est égale à \Z, puisque 1 n'est multiple d'aucun premier !


Pour la 5), si \mathbb{P} est fini alors 4) est une réuinion finie de ... et donc un ...

Posté par
Ulmierere : Topologie sur Z 12-10-22 à 12:20

Erratum pour la 3) : on parle du complémentaire
x appartient au complémentaire de l'union
ssi x n'appartient pas à l'union
ssi x-a n'appartient pas à l'union des F_{i,b}
ssi x-a n'est congru à aucun reste autre que 0 modulo b
ssi x-a est mulitple de b
ssi x est congru à a modulo b
ssi x appartient à F_{a,b}

Posté par
Arthur68329re : Topologie sur Z 12-10-22 à 14:00

Je suis éternellement bloqué,

Pour l'intersection finie d'éléments de T, je ne vois pas comment exploiter le résultat à la question 1.

Si je résume:

Pour la question 3. on à :
le complémentaire de l'union des Fa+i,b est égale à Fa,b

Cet ensemble étant le complémentaire d'un ouvert, Les Fa,b sont fermés

Pour la question 4. en suivant le même raisonnement :
x appartient à l'union si et seulement s'il existe un Po premier tel que x appartient à F0,Po = Po Z
D'ou l'union est égale à Po Z?

Et enfin 5.

Supposons l'ensemble des premiers finis, alors l'union de 4. est un fermé par réunion finie de fermé, or par définition de T, c'est un ouvert, donc absurde ? ( Je mets "?" car n'est il pas possible que ce soit et un fermé et un  ouvert ? )

Merci

Posté par
Arthur68329re : Topologie sur Z 12-10-22 à 14:11

Je suis éternellement bloqué,

Pour l'intersection finie d'éléments de T, je ne vois pas comment exploiter le résultat à la question 1.

Si je résume:

Pour la question 3. on à :
le complémentaire de l'union des Fa+i,b est égale à Fa,b

Cet ensemble étant le complémentaire d'un ouvert, Les Fa,b sont fermés

Pour la question 4. en suivant le même raisonnement :
x appartient à l'union si et seulement s'il existe un Po premier tel que x appartient à F0,Po = Po Z
D'ou l'union est égale à Po Z?

Et enfin 5.

Supposons l'ensemble des premiers finis, alors l'union de 4. est un fermé par réunion finie de fermé, or par définition de T, c'est un ouvert, donc absurde ? ( Je mets "?" car n'est il pas possible que ce soit et un fermé et un  ouvert ? )

Merci

Posté par
Arthur68329re : Topologie sur Z 12-10-22 à 14:38

Je suis éternellement bloqué,

Pour l'intersection finie d'éléments de T, je ne vois pas comment exploiter le résultat à la question 1.

Si je résume:

Pour la question 3. on à :
le complémentaire de l'union des Fa+i,b est égale à Fa,b

Cet ensemble étant le complémentaire d'un ouvert, Les Fa,b sont fermés

Pour la question 4. en suivant le même raisonnement :
x appartient à l'union si et seulement s'il existe un Po premier tel que x appartient à F0,Po = Po Z
D'ou l'union est égale à Po Z?

Et enfin 5.

Supposons l'ensemble des premiers finis, alors l'union de 4. est un fermé par réunion finie de fermé, or par définition de T, c'est un ouvert, donc absurde ? ( Je mets "?" car n'est il pas possible que ce soit et un fermé et un  ouvert ? )

Merci

Posté par
Arthur68329re : Topologie sur Z 12-10-22 à 14:42

Erratum, ce n'était pas mon intention de poster 3 fois le même message ^^

Posté par
Ulmierere : Topologie sur Z 12-10-22 à 14:46

Ok pour la 3)

Pour la 4), non. x appartient à l'union si et seulement si x a un facteur premier. Si on s'autorise à savoir que tout nombre différent de 1 ou -1 a un facteur premier, alors l'union est le complémentaire de {-1,1}. Sinon, on ne peut pas dire grand chose de plus.

Pour la 5), plus simple : s'il n'existe que n nombres premiers p_1,\cdots,p_n alors que peux tu dire que p_1p_2\cdots p_n + 1 ?


Pour la 2), je ne vois pas ce que je peux te dire de plus sans te donner la réponse

Posté par
Arthur68329re : Topologie sur Z 12-10-22 à 15:04

Pour la 5) enfaite ce qui me perturbe c'est qu'il faut répondre à la question " en utilisant un argument topologique ".
Sinon je suis d'accord pour dire que si on considère N le plus grand nombre premier tq M = N! + 1  et p un  nombre premier divisant M, alors p divise M donc p divise M - N! = 1 donc M est premier, donc N n'est pas le plus grand premier.

Et pour la 2) je continue à chercher.

Merci

Posté par
Arthur68329re : Topologie sur Z 12-10-22 à 15:07

Pour la 5) enfaite ce qui me perturbe c'est qu'il faut répondre à la question " en utilisant un argument topologique ".
Sinon je suis d'accord pour dire que si on considère N le plus grand nombre premier tq M = N! + 1  et p un  nombre premier divisant M, alors p divise M donc p divise M - N! = 1 donc M est premier, donc N n'est pas le plus grand premier.

Et pour la 2) je continue à chercher.

Merci

Posté par
Ulmierere : Topologie sur Z 12-10-22 à 15:32

Pas besoin de factorielle, juste de primoriel. Le nombre que je t'ai donné n'est divisible par aucun premier mais n'est pourtant égal ni à 1, ni à -1.

Des fermés-ouverts (des "fouverts", disons), il en existe pour cette topologie. Par exemple, l'ensemble des entiers relatifs impairs est F_{0,2}^c, donc fermé, mais aussi égal à F_{1,2}, qui est ouvert...
En fait, tu as même déjà montré au 3) que tous les F_{a,b} sont des fouverts.


Pour l'argument topologique, je pense qu'ils essaient de te faire montrer que la réunion des F_{0,p} ne peut pas être un fermé. Si tu montres qu'il n'existe qu'un nombre fini d'entiers n'ayant aucun facteur premier, alors tu auras répondu à la question, parce que si \bigcap F_{0,p}^c est un ouvert, il est non vide, donc infini (pourquoi ?)

Posté par
Arthur68329re : Topologie sur Z 12-10-22 à 16:20

Si on suppose que la reunion des F0,p est un fermé, on a donc que son complémentaire est ouvert. Mais on à montré à la question 4 que le complémentaire était égale à {-1;1} . Ce qui n'est clairement pas infini.
En revanche je ne comprends pas pourquoi:
si F0,pC est ouvert, alors il est non vide, donc infini

Posté par
Ulmierere : Topologie sur Z 12-10-22 à 16:25

Non, on n'a pas montré que le complémentaire était égal à {-1,1}

Si \bigcap F_{0,p}^c est vide alors \bigcup F_{0,p} = ?. Absurde car ???

Et ensuite, à part l'ensemble vide, est-ce qu'il existe des ouverts finis ?

Posté par
Arthur68329re : Topologie sur Z 12-10-22 à 18:11

Donc c'est ce qu'on cherche a montrer, que le complémentaire est égal à {-1,1} ?
Si l'intersection des Fc0,p est vide, alors son complémentaire est égale à Z. Ce qui veut dire que tous les entiers sont divisibles par un premier. C'est absurde parce que -1 et 1 ne le sont pas.

Et je pense pas qu'il existe d'ensemble ouverts finis autre que le vide. Donc l'intersection des Fc0,p est une partie infinie de Z, donc la réunion des F0,p est une partie finie ( Ce qui est absurde également car il existe un infinité d'éléments qui sont congru à 0 mod p, par exemple les pZ )

Est ce que c'est ça ?
Mais comment justifier proprement qu'il n'existe d'ensemble ouverts finis autre que le vide ?

Posté par
Ulmierere : Topologie sur Z 12-10-22 à 18:56

Y'a plusieurs erreurs à partir du deuxième paragraphe. Ce n'est pas parce qu'une partie est infinie que son complémentaire est fini. Par exemple le complémentaire de l'ensemble des impairs est 2\Z.

Le fait qu'il n'y ait pas d'ouvert non vide fini est tout simplement une conséquence du fait que les ouverts sont les réunions des F_{a,b} et du fait que chaque F_{a,b} est infini dénombrable.


Soient x,y \in \bigcap F_{0,p}^c. Est-ce que xy aussi appartient à cet ensemble ? Conclusion si \{x^k, k\in\N^\ast\} n'est pas fini ?
Quels sont les entiers tels que \text{Card }\{x^k, k\in\N^\ast\} < \infty ?


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