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Topologie, Valeur d'adhérence
Bonjour
encore moi! Je bloque sur cette exercice :
Soit un espace métrique compact.
1/ Rappeler la définition d'une valeur d'adhérence d'une suite d'éléments de
---
Supposons que est une suite d'éléments de
ayant une seule valeur d'adhérence
---
2/ Soit un voisinage de
dans
et
. Montrer que
est fini.
3/ En déduire que converge vers
voila ce que j'ai fait :
1/ Soit une valeur d'adhérence de
.
Alors pour tout voisinage de
,
2/ étant une valeur d'adhérence, il existe une sous-suite
qui converge vers
. Donc à partir d'un certain rang tous les
sont dans V.
Je vois pas trop quel argument utiliser pour montrer que D est fini :/
3/ Je vois pas !
Salut,
pense à Bolzano-Weierstrass en raisonnant par l'absurde.
Pour la 3, c'est juste la définition de suite convergente.
Bonjour,
le fait que E est un espace métrique compact n'a pas été utilisé dans l'exo et intervient sans doute.
C'est vrai jerom, je ne sais pas ou la compacité intervient?
sinon, otto, je dois supposer que l'ensemble D est infini ?
Bonjour, H_aldnoer
Si l'ensemble D est infini, on peut écrire les éléments de D sous la forme , où
est strictement croissante. Cette suite va admettre une valeur d'adhérence (c'est ici qu'intervient la compacité de K) ... je te laisse continuer
Je ne comprend pas le raisonnement en faite.
Si D est infini, qu'est-ce que cela signifie concrètement ?
tanpis, merci quand même!
Quelqu'un d'autre peut-il m'expliquer ce que signifie concrètement D infini ?
Non , pas tout à fait :
Si D est infini, cela veut dire qu'il existe une infinité d'entiers tels que
, d'après la définition de D.
Il existe une infinité d'éléments dans un ensemble compact + Bolzano-Weierstrass ???
Je t'ai parlé de Bolzano-Weierstrass et tu n'as pas réagi ...
Oui, pourtant tu viens (presque) d'en trouver une autre.
Reste à montrer qu'elle est effectivement différente de celle de départ.
on a supposé que a une seule valeur d'adhérence.
tu me dit qu'on vient d'en trouver une autre, mais je vois pas laquelle
Je t'ai donné tous les éléments, je t'ai quasiment fait l'exercice.
Essaie de rassembler un peu tes idées et ce dont on a discuté.
On suppose que D est infini et on utilise le théorème de Bolzano-Weierstrass + regarde comment est fabriqué D.
Je crois que tout est dit.
On suppose D infini :
il existe une infinité d'éléments telle que
Ces éléments forment une suite dans K compact donc admet une valeur d'adhérence
dans K et
.
Donc , contradiction avec le fait qu'il y ait qu'une seule valeur d'adhérence ?
Je crois pour conclure :
Puisque D est fini, à partir d'un certain rang, tous les sont dans le voisinage V de l ce qui est exactement la définition de la convergence vers l.
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