salut
1 je passe.
2a)je pense que c'est justifier les egalites.

z-z1=i*(i-z1) ?

BMM1 est rectangle isocele et (M1B,M1M)=Pi/2

consequence :
BMM1 est recangle et isocele en M1.
donc
BM1=M1M


on a donc (M1B,M1M)=Pi/2 et BM1=M1M

ici deux possibilites :
1) tu dis que M est le symetrique de B par rapport a la rotation de centre M1 et d'angle Pi/2
donc z-z1=[e^(iPi/2)]*(i-z1)=i*(i-z1)

2)si tu n'as pas vu le lien rotation - complexes alors

1 er cas M1 different de B.
alors on peut ecrire Z=(z-z1)/(i-z1)
vecteur(M1M) a pour affixe z-z1
et vecteur(M1B) a pour affixe i-z1

|Z|=|z-z1|/|i-z1|=M1M/M1B=1
et arg(Z)=arg(z-z1)-arg(i-z1) [2Pi]
arg(Z)=angle(u,M1M)-angle(u,M1B)=angle(u,M1M)+angle(M1B,u)=angle(M1B,M1M)=Pi/2

donc Z=|Z|*exp(i*arg(Z)=i
donc (z-z1)/(i-z1)=i
donc (z-z1)=i*(i-z1)

2eme cas M1=B
i*(i-z1)=0

or BMM1 est isocele donc M=B=M1 donc z-z1=0
on a bien z-z1=0=i*(i-z1)

meme chose pour la deuxieme egalite.

b)z - z1 = i(i-z1)
donc z-z1=i^2-i*z1=-1-i*z1
z1*(i-1)=-1-z
z1=(1+z)/(1-i)
z1=(1+i)*(1+z)/[(1-i)*(1+i)]=(1+i)*(1+z)/2

meme chose pour l'autre.

3a)si OM1=OM2
alors ||vecteur OM1||=||vecteurOM2||
alors |z1-z0|=|z2-z0|
donc |z1|=|z2|

or z1 = (1+i)/2 x (z+1) et  
z2 = (1-i)/2 x ( z +i)

donc |1+i|*|z+1|=|1-i|*|z+i|
or |1+i|=|1-i|=2^(1/2)

donc |z+1|=|z+i|

pour le reciproque, il suffit de faire la demarche a l'envers (on aurait pu meme demontrer tout de suite l'equivalence).

on veut l'ensemble des points M tels que OM1=OM2
on cherche donc M tel que |z+1|=|z+i|
si M a une affixe different de -i :

or vecteur(AM) a pour affixe z+1
et vecteur(BM) a z+i
donc AM=BM => M est sur la mediatrice de [AB]

l'ensemble cherche est la mediatrice de [AB].
autre facon :
z=x+iy
donc (x+1)^2+y^2=x^2+(y+1)^2
donc 2x=2y
donc x=y

b) meme chose que a)
c) z=x+iy
donc |z+1|^2=(x+1)^2+y^2
et 2*|z|^2=2*(x^2+y^2)
donc (x+1)^2+y^2=2*(x^2+y^2)
y^2+x^2-2x-1=0
donc y^2+(x-1)^2=2
donc C est le cercle de centre A d'affixe 1 et de rayon 2^(1/2).

d) OM1M2 est equilateral donc OM1=OM2 => M est sur la mediatrice de [AB] d'apres 3a.
et OM1=M1M2 => M est sur C d'apres c).

donc M est sur delta inter C.

donc M est sur la mediatrice de [AB] et sur le cercle de centre A et de rayon 2^(1/2)

si M a pour affixe z=x+iy
x et y sont les solutions du systeme suivant
x=y
et  y^2+(x-1)^2=2

donc 2x^2-2x+1=2
donc 2x^2-2x-1=0
discriminant : 4+8=12
donc deux solutions reelles x1 et x2
x1=1+3^(1/2) et x2=1-3^(1/2)

conclusion deux possibilites pour M
z=1+3^(1/2)+i*[1+3^(1/2)] ou z=1-3^(1/2)+i*[1-3^(1/2)]

a+