Niveau maths spé

Tout endomorphisme de R-ev est stable par une droite ou un plan

Posté par
Yona07 06-10-22 à 01:41

Bonjour!

Soit u un endomorphisme d'un R-ev de dim finie. Montrer qu'il existe toujours une droite ou un plan de E stable par u.

L'idée pour une droite est de montrer qu'il existe un sous-espace propre de u dont le vect est de dim 1 , comme u commute avec u et donc u est stable par tout sous-espace propre de u. Il faut donc calculer le polynôme caractéristique de u est trouver son spectre sur R.  C'est avec le plan que j'ai rencontré des difficultés. J'ai trouvé une solution sur Bibm@th mais il y a des trucs que je ne comprends pas.

Bon, la factorisation sur R de tout polynôme est comme suit:

$\chi _u= \prod_{i=1}^{k}({X-\alpha _i})^{n_i}\prod_{j=1}^{m}{(X^2+a_jX+b_j)^{qj}}$ .

Je recopie ce qu'il y a sur bibm@th:

" Si cette factorisation possède un facteur de degré 1, l'endomorphisme possède un vecteur propre x, et la droite vect(x) convient."

C'est encore mieux.. car il serait difficile de trouver un sous-espace propre de dimension un comme si la multiplicité de $\alpha_i$ ne vaut pas 1,comment est-ce que saurons-nous la dimension du vect du sous-espace propre y associé ?On a   $1\leq dim(E_u(\alpha _i))\leq m(\alpha_i)=n_i$ ....

Avec la solution proposée par Bibm@th: La factorisation possède un facteur de degré 1, donc u possède un vecteur propre qu'on notera x_i associé à la valeur propre alpha_i. Si l'on considère $vect(x_i)$ , on aura:

Soit : $a\in vect(x_i)$ . On a: $a=\beta x_i$ , donc:   $u(a)=u( \beta x_i)=\beta u(x_i)=\beta \alpha _i x_i\in vect( x_i )$

Pour le plan:
Je recopie la solution de Bibm@th:

"Sinon (i.e: n'admet pas de facteurs de degré 1), alors:

$\chi _u(X)=\prod_{j=1}^{m}{(X^2+a_jX+b_k)^{q_j}}$

D'après Cayley-Hamilton:

$\prod_{j=1}^{m}{(u^2+a_ju+b_j Id)^{q_j}}=0\\ \Leftrightarrow (u^2+a_1u+b_1 Id)^{q_1}o...o (u^2+a_mu+b_m Id)^{q_m}=0$

La composée d'applications bijectives étant bijective, au moins l'une des applications que l'on compose n'est pas bijective. Par exemple, $(u^2+a_1u+b_1 Id)^{q_1}$ n'est pas une bijection et donc: $u^2+a_1u+b_1 Id$ n'est pas une bijection."

C'est compris; $\chi _u(u)$ est en fin de compte un déterminant qui est nul. D'où la non bijectivité.

"Soit x0 dans le noyau de cette application. Alors u(x) n'est pas colinéaire à x puisque u est supposé ne pas admettre de valeur propre. Donc vect(x,u(x)) est bien un plan qui est stable par u."

C'est compris; de la non bijectivité en dim finie, on a conclu la non injectivité et par la suite, le noyau de l'application n'est pas réduit au singleton 0. Donc x non nul existe dans ce noyau. Mais la non colinéarité...J'y pense mais mes idées ne sont pas claires....Ben c'est vrai, si x et u(x) sont colinéaires, alors le spectre de u sera non vide. Mais si c'était le cas, et on sait dès le début que u n'admet pas de valeurs propres vu la factorisation de son polynôme caractéristique et tout, pourquoi appliquer le th de C-H, et déduire la non bijectivité, puis la non injectivité, puis l'existence d'un vecteur non nul qui n'est pas colinéaire à son image par u?? Ne pourrait-on à partir de la "vacuité" du spectre, déduire la non colinéarité de tout vecteur de E et de son image par u??

Merci d'avance!!

Posté par re : Tout endomorphisme de R-ev est stable par une droite ou un 06-10-22 à 09:26

salut

dire qu'un plan P est stable par u signifie simplement que u(P) = P

mais si P = vec (x, y) ça ne signifie pas que u(x) est colinéaire à x et de même pour y ça signifie simplement qu'il existe quatre réels a, b, c et d tels que :
u(x) = ax + by = v
u(y) = cx + dy = w

et vec (v, w) = P

Posté par re : Tout endomorphisme de R-ev est stable par une droite ou un 06-10-22 à 09:38

Bonjour,
Ton message est un peu long et confus.
Je préfère partir avec le polynômer minimal $P$ de $u$ .
Je te fais un petit guide de voyage. À toi après de faire le parcours
1°) Si $P$ a un facteur de degré 1, disons $X-a$ . Montrer que $u-a\mathrm{Id}_E$ n'est pas inversible. Prendre un $x$ non nul dans le noyau de $u-a\mathrm{Id}_E$ , et montrer que la droite vectorielle engendrée par $x$ est stable.
2) Si $P$ n'a pas de facteur de degré 1, alors il a un facteur de degré 2, disons $X^2+bX+c$ . Montrer que $u^2+bu+c\mathrm{Id}_E$ n'est pas inversible. Prendre un $x$ non nul dans le noyau, et montrer que le sous espace vectoriel engendré par $x$ et $u(x)$ est stable.

Posté par re : Tout endomorphisme de R-ev est stable par une droite ou un 06-10-22 à 20:17

Bonjour,
Merci d'avoir répondu.
Je pense que carpediem a saisi où est-ce que je me trompe..
En fait, x et u(x) ne sont pas colinéaires, ça on l'a.. Ce qu'on a toujours pas c'est la stabilité. Il faut donc montrer que l'image d'un élément du vect(x,u(x)) par u est encore donc le vect de (x,u(x)).
Ainsi:
Soit a de vect(x,u(x)); i.e: il existe \gamma, \lambda de R tels que:

$a= \gamma x+ \lambda u(x)$ , alors:

$u(a)= \gamma u(x)+ \lambda u^2(x)$

On veut montrer qu'on a toujours u(a) dans vect(x,u(x)), c-à-d: il existe \epsilon, \mu de R, tels que:

$u(a)= \gamma u(x)+ \lambda u^2(x)=\epsilon x + \mu u(x)$ ,
ainsi:

$u^2(x)+\frac{\gamma +\mu}{\lambda} u(x)+ \frac{\epsilon}{ \lambda} x =0<=> x\in ker(u^2+a_1u + b_1Id)$

En posant:
$a_1=\frac{\gamma +\mu}{\lambda} ; b_1=\frac{\epsilon}{ \lambda}$

Ce qui est vrai.

Je comprends maintenant l'intérêt de la non bijectivité, la non injectivité et du noyau non réduit au singleton 0.

J'ai bien compris ou pas? ...

Posté par re : Tout endomorphisme de R-ev est stable par une droite ou un 06-10-22 à 22:03

Pour la stabilité de $\mathrm{vect}(x,u(x))$ , il suffit de vérifier que
$u(x) \in \mathrm{vect}(x,u(x))$ clair
$u(u(x))=u^2(x) \in \mathrm{vect}(x,u(x))$ grâce au choix de $x$ .

Posté par re : Tout endomorphisme de R-ev est stable par une droite ou un 07-10-22 à 09:31

oui tu te compliques bien la vie.

je t'ai rappelé le principe général en terme de combinaison linéaire (avec des coefficients et un vecteur quelconque) mais pour montrer ce qui est demandé il suffit de montrer que l'image de la (une) famille génératrice du plan appartient à ce plan ... donc ce que dit GBZM ...

Posté par re : Tout endomorphisme de R-ev est stable par une droite ou un 09-10-22 à 22:43

Si, je le vois maintenant..
Merci beaucoup tout le monde!!

Posté par re : Tout endomorphisme de R-ev est stable par une droite ou un 09-10-22 à 23:11

de rien

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