Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Toute matrice inversible s'écrit comme puissnce d'une matrice
Bonjour, je suis bloqué dans un problème voilà à la question d'avant j'ai montrer que :
Pour N une matrice nilpotente de Mn(
) et p 
*, il existe B Mn() tel que :
Bp=N+In
A présent je dois montrer que pour A GLn() il existe B Mn() tel que Bp=A. Puis montrer que ce résultat reste vrai dans Mn(
) si on suppose p impair et 
A scindé.
Pour la première partie du résultat je pensais utilisé le fait que l'on puisse montrer que N+In est inversible, mais je ne suis pas sur du tout qu'il y est une bijection entre les matrice nilpotentes et Gln()....
Pourriez vous m'aidez s'il vous plaît ?
Merci d'avance
salut
puisqu'on travaille dans C A est trigonalisable donc il existe une matrice P inversible telle que PAP^-1 = T = D + N
où T es triangulaire, D est diagonale et N est nilpotente
Effectivement j'y avais pensé, mais on ne se ramène pas tout à fait au cas précédent :/
Une idée m'es venue, je ne sais pas ce que vous en dites (si ça se trouve avec votre technique cela va plus vite), étant dans , A est scindé, par Cayley-Hamilton c'est un polynôme annulateur de A et on utilise le lemme de décomposition des noyaux sur E.
La matrice de A dans une base adaptée à cette décomposition est une matrice à "diagonale dominante" (Bon pas tout à fait mais cela traduit le fait que chaque sous espace propre est stable par A).
Sur chacun de ces sous espaces propres, l'endomorphisme induit par l'endomorphisme canoniquement associé à A est trigonalisable (son polynome caractéristique divise celui de A qui est scindé) et sa diagonale est formé par la valeur propre associé à l'espace propre !
et on décompose cette matrice triangulaire supérieure en 
In + N, sur chaque espace il existe une matrice Bi telle que In + N =Bp (la je vous avoue que je ne sais pas si j'ai le droit d'écrire ça)
et si on prend B la matrice diagonale par bloc dont les éléments diagonaux sont les Bi Alors Bp = A ?????
je dirais que c'est en gros une redite plus détaillée de ce que j'ai dit qui en est une synthèse ...
si b^p = N+ I alors k^pB^p = k^pN + k^pI donc je pense que tu peux dire ce que tu as dit ...
de toute façon pour les éléments diagonaux il faudra à un moment prendre une racine p-ième des valeurs propres...
Pardonnez moi mais je suis un peu confus là,
je suis d'accord avec vous pour la deuxième ligne mais moi je ne multiplie que l'identité par une valeur propre :/
et la fin je n'ai pas du tout compris pourquoi on fait intervenir des racines p-ièmes :/
que ce soit un k^p ou un k je voulais simplement montrer qu'un pouvait tout multiplier par une constante ....
n'as-tu pas lu ma dernière ligne ....
Bonjour !
Petite mise en garde : Si est trigonale de diagonale
on peut toujours écrire
nilpotent mais ce n'est pas la décomposition de Dunford qui exige
.
Le cas me semble le montrer (sauf erreur).
@tutor Dans ta démonstration de la question précédente as-tu vraiment utilisé que c'est la somme ? Ou l'utilisation d'une matrice scalaire à la place de
serait suffisante (je pense que la possibilité de permuter les matrices de la somme suffit) ?
Dans ce dernier cas tu as donné la solution car tu as une matrice en blocs diagonaux (j'appelle
le bloc numéro
supposé à
lignes) de la forme
avec
nilpotent , commutant avec
.
Si le produit par blocs montre que si la matrice
est formée des blocs
, alors
est formée des blocs
(ou encore
) et tu retrouves la matrice
.
A l'aide d'une matrice de passage tu en déduis la propriété pour la matrice .
Quant à la question que tu te posais pour les matrices inversibles, il est clair que si est inversible, 0 n'est pas valeur propre donc les
de mes notations précédentes ne sont pas nuls et les matrices
sont également inversibles.
Bref, le bon truc que tu as trouvé consiste à raisonner sur les endomorphismes induits trigonalisables avec une unique valeur propre.
Reste à voir si tu sais trouver tel que
? L'utilisation d'une racine pème de
semble s'imposer ici : carpediem avait raison !
tout à fait d'accord avec ces précisions ... 
en complément dans R on choisit p impair pour avoir justement toujours une racine p-ième ... même lorsque les valeurs propres sont négatives ....
Merci Luzak et Carpediem pour ces réponses !
J'ai bien montrer à la question précédente le cas avec l'identité et non une matrice scalaire !
Par ce qui précède je sais donc construire B tel que Bp = In +N
Alors en multipliant l'expression par une racine p-ième de A et en élevant à la puissance p, on obtient aBp = a (In +N) ce qui n'est pas ce qui est attendu en fait je ne vois pas comment je peux généraliser mon résultat aux matrices scalaires.
Pour démontrer la question précédente j'ai utilisé le fait que pour tout p,n dans N* il existe deux polynomes réèls P et Q tels que :
1+X = Pn + XpQ
si N est nilpotente il en est de même de aN ...
donc si tu trouves une matrice B telle que B^p = aI + N alors
et ça tombe bien : a n'est pas nul puisque A est inversible
pardon
si N est nilpotente il en est de même de aN ...
donc si tu trouves une matrice B telle que B^p = aI + N alors
et ça tombe bien : a n'est pas nul puisque A est inversible
Annuler
connectez vous
algèbre en post-bac