Tout ça n'a guère de sens !

pourquoi ? on a bien l equivalence f surjective si et ssi elle est inversible a droite

pour l'implication f surjective => f inversible a droite, on doit avoir recours a l'axiome du choix pour construire une application g , car f suirjecrtive donc chaque y de F peut avoir plusieurs antecedents dans E  et on ne doit selectionner qu'un sinn g ne serait pas une application  non ?

Bonjour,

Avec AC : Soit une surjection. Pour tout , la partie de est donc non vide. Or, en vertu de l'axiome du choix, il existe une fonction de choix telle que pour tout . Partant, posant , élément de qui appartient bien à , il s'ensuit que . La fonction ainsi définie répond à la question.

Sans l'AC : Il est indispensable de se placer dans un système équivalent à celui du collectif Bourbaki. Je ne vais pas rentrer dans les détails. Puisque est surjective, quel que soit , l'on a , soit de manière équivalente où l'on a posé , et qui est nécessairement tel que par construction même du terme . Partant, si l'on considère l'application



il est clair que , comme attendu.

Ce que tu racontes maintenant  est plus clair .Mais ce n'est pas ce que tu disais à 5 h 12 .

Les ensembles E et F étant donnés , s'il existe g : F E telle que   f o g = Id_F  ( et non pas   Id_Y)  il est clair qu'alors f est surjective .

Tu voudrais montrer que :  
Quels que soient les ensembles E , F et  quelle que soit l'application surjective f : E F  il existe g : F E telle que f o g = Id_F  sans te servir de l'axiome du choix .

  D'éminents logiciens de l'île pourront te répondre s'ils ne sont pas à la plage .

On pourrait  peut-être contourner la difficulté en modifiant la définition de la surjectivité .

Bonjour.

Soit , et une relation d'équivalence. Pour un élément , on note la classe d'équivalence de .

Soit .
Il est clair que est surjective.

Supposons que la proposition soit vraie, alors il existe vérifiant .

Soit alors une classe d'équivalence, soit . Soit . Alors,
donc .

Autrement dit, on vient d'établir l'existence d'une fonction , qui à toute classe associe , c'est-à-dire qui à toute classe d'équivalence associe un élément de cette classe d'équivalence. Or l'existence d'une telle fonction pour quelconque est équivalente à (AC).

Donc si la propriété est vraie, c'est que (AC) est vrai. Réciproquement, voir la réponse de ThierryPoma.