Bonjour Gamma2506,

Je ne saisis pas très bien. S'agit-il d'une résolution d'équation ?

Oui, c'est cela, je dois trouver toutes les matrices A, les solutions, qui permettent de vérifier l'équation tr(AM)=tr(A)tr(M)

Bonjour !
Essaies avec matrice de la base canonique : tu devrais trouver que beaucoup de coefficients de doivent être nuls...

Donc, si je te suis bien, on se donne M une matrice de M_n() et on cherche l'ensemble des matrices A telles que tr(AM) = tr(A)tr(M).
Déjà, on peut noter que tr(AM) = tr(MA).
Commence par vérifier que l'ensemble des solutions est (ou n'est pas ) un espace vectoriel !

Je dirais plutôt que si A est solution alors pour M = In :
Tr(AM)=Tr(A) = nTr(A)

Donc Tr(A)(n-1) = 0, si n = 1 toutes les matrices sont colinéaires et on a bien A = bM avec b dans .
Sinon A est dans {H Mn(), Tr(H) = 0}, tu peux montrer que cet espace est de dimension finie et en trouver une base !

Un sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel de dimension finie est forcément de dimension finie. Pas besoin de le démontrer

Merci pour votre indication.
J'ai donc note f(A)=tr(AM)-tr(A)tr(M)
En prenant A,B dans Mn(C), a,b dans R, j'ai vérifié que f(aA+bB)=af(A)+bf(B)
J'ai aussi vérifié que si A était la matrice nulle, alors f(A)=0
J'ai donc vérifié que l'ensemble des solutions était bien un sous espace vectoriel puisqu'il contenait la matrice nulle et qu'il était stable par combinaison linéaire.

Impeccable. Reste plus qu'à en trouver une base, tu utilises l'indication de Luzak et celle de Tutor en complément.
Il s'agit ni plus ni moins qu'un jeu de décomposition.

Merci pour vos réponses.
J'ai donc bien si M=In deux cas :
Soit A=bM, b dans R
Soit A est dans le sous espace vectoriel des matrices à trace nulle (il est stable par combinaison linéaire et possède la matrice nulle)
Ici, A est connue seulement pour M=In, comment trouver A pour toutes les autres matrices In?

Si tu évalue en chaque Ei,j (matrices canoniques) tu vas récupérer des informations sur tous les coefficients de A en distinguant les cas où i=j et ceux où ij
comme l'a suggéré Luzak

Et non ici A est connu pour toutes les autres matrices, pas seulement pour l'identité, les informations que tu vas récupérer sur les coefficients de A vont te permettre de déterminer précisément la forme de A, car le sous-espace vectoriel des matrices à trace nulle est très grand ! (de dimension n²-1)

M est donné et s'écrit

A est à chercher et s'écrit

Tu regardes donc ce que donne et tu compares avec ,

Merci pour votre réponse.
Je bloque cependant un peu, par exemple pour i=j=k=l=1,
J'ai tr(E1,1. E1,1)=1 = tr(E1,1)tr(E1,1)
Et il en ira de même pour i=j=k=l=2 etc...
Donc pour i=j=1 j'aurais a1,1 et le reste nul sur la colonne 1...

bonjour,
il me semble que seule la matrice nulle satisfait à la relation pour toute matrice M

Non DOMOREA, toute matrice dont la trace est nulle et dont tous les coefficients non diagonaux sont nuls vérifie la relation

Gamma, je te conseil plutôtA de regarder ce que donne le produit, AEi,j et d'en étudier la trace

bonjour,
@tutor  désolé mais
Il me semble que A est fixé et qu'il faut que la relation soit vérifiée pour tout M
et


             si    

bonjour,
C'est bien ce que j'ai compris, et l'énoncé dit pour tout M
où est le problème?  J'ai répondu au post de tutor

Bonjour DOMOREA !
Je vois les choses comme toi et, lorsque , la seule possibilité est .
La trace de est , celle de est .
Donc on veut la relation : : la matrice doit être scalaire, .
Il en résulte et si .