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trace de f endomorphisme

Posté par Djeffrey (invité) 22-09-05 à 19:27

Bonjour, j'ai un souci sur cet exo et je vous ai mis ce que j'ai fait, j'espere que qqn pourra m'aider...

Soit A une matrice de Mn(R), determiner la trace de f : Mn(R) -> Mn(R)
                                                                               M -> AM + MA

J'ai essayé d'ecrire les matrices produits avec les coefficients mais c'est assez enorme avec la base des matrices Eij... Est ce la bonne methode?
J'en arrive a f(Eps)=(bij) pour p et s dans {1,...,n} avec :

bij=0 si (i,j) different de (p,s)
bps=app+ass
bis=aip pour i different de p
bpj=asj pour j different de s

mais apres c'est pas simple a manipuler, y a t-il mieux a faire ?????

Merci d'avance

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre:trace de f endomorphisme 22-09-05 à 22:27

Bonsoir Djeffrey;
pour (i,j)\in{\{1,..,n\}}^2 tu peux considérer les deux endomorphismes:
3$\fbox{\phi_{ij}\{{M_{n}(\mathbb{R})\to M_{n}(\mathbb{R})\\M\to E_{ij}M} et 3$\fbox{\psi_{ij}\{{M_{n}(\mathbb{R})\to M_{n}(\mathbb{R})\\M\to ME_{ij}}
comme 4$\fbox{f=\Bigsum_{1\le i,j\le n}(a_{ij}\phi_{ij}+a_{ij}\psi_{ij})} tu as par linéarité de la trace que:
4$\fbox{tr(f)=\Bigsum_{1\le i,j\le n}(a_{ij}tr(\phi_{ij})+a_{ij}tr(\psi_{ij}))}
calcul de tr(\phi_{ij}):
on a 4$\fbox{\forall(r,s)\in{\{1,..,n\}}^2\\\phi_{ij}(E_{rs})=E_{ij}E_{rs}=\delta_{jr}E_{is}}
on voit alors que pour que le vecteur \phi_{ij}(E_{rs}) ait une composante non nulle suivant le vecteur E_{rs} il faut et il suffit que:
\fbox{(i,s)=(r,s)\hspace{5}et\hspace{5}j=r} c'est à dire que \fbox{i=j=r} et comme \fbox{\phi_{ii}(E_{is})=E_{is}} pour tout s\in\{1,..,n\} on a que:
4$\fbox{tr(\phi_{ij})=n\delta_{ij}}
calcul de tr(\psi_{ij}):
un raisonnement similaire conduit à:
4$\fbox{tr(\psi_{ij})=n\delta_{ij}}
Conclusion:
on voit alors ,vu que la trace d'un endomorphisme (en dimension finie) est indépendante de la base suivant laquelle elle est calculée (ici on a pris la base canonique de M_{n}(\mathbb{R})),que:
4$\blue\fbox{tr(f)=\Bigsum_{i=1}^{n}a_{ii}tr(\phi_{ii})+a_{ii}tr(\psi_{ii})=2ntr(A)}
Sauf erreur bien entendu


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