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Niveau maths spé
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Trace de l'application transposée

Posté par
Loky
15-09-14 à 20:29

Bonjour, on me demande dans un exercice de donner la trace de l'endomorphisme qui à une matrice de taille n associe sa transposée.
Si j'ai bien compris la trace d'un endomorphisme u est tr(Mat(u,B)) avec B une base de l'espace telle que la trace ne dépende pas de la base B choisie.
Mais je ne vois pas dans quelle base exprimer cette application transposée pour avoir la solution.
J'ajouterai que je viens de voir cette définition aujourd'hui et rien d'autre, donc dans les quelques recherches que j'ai faites où on parle de diagonalisation, je ne sais pas ce dont il s'agit.
Merci par avance

Posté par
Robot
re : Trace de l'application transposée 15-09-14 à 20:36

Tu es en math spé, donc tu dois avoir un peu de matériel à ta disposition.
Par exemple, le fait que l'espace des matrices n\times n est somme directe de l'espace des matrices symétriques et de l'espace des matrices antisymétriques.
Comment agit la transposition sur l'espace des matrices symétriques ? des matrices antisymétriques ? Quelles sont les dimesions de ces deux espaces ?

Posté par
kybjm
re : Trace de l'application transposée 15-09-14 à 20:39

Une base de Mn(K) est (E1,1,E1,2,...,E1,n,E2,1,E2,2,...,E2,n,.....,En-1,1,En-1,2,...,En-1,n)

Posté par
Robot
re : Trace de l'application transposée 15-09-14 à 20:46

Oui, pour calculer la trace io n'y a pas besoin d'en faire plus !

Posté par
Loky
re : Trace de l'application transposée 15-09-14 à 21:06

Et bien, les matrices symétriques sont invariantes par transposition et les anti changent de signe, dois-je comprendre que la trace est nulle ?

Posté par
Robot
re : Trace de l'application transposée 15-09-14 à 21:12

S'il y avait autant de +1 que de -1, ça s'annulerait - mais y en a-t-il autant ? Ce n'est pas pour rien que j'ai posé une question sur les dimensions.

Ceci dit, la suggestion de kybjm est plus simple, et terrriblement effcace. Tu devrais essayer.

Les deux donnent bien sûr le même résultat, heureusement !



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