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Trace et déterminant d'exponentielles de matrices
Bonjour à tous,
Je fais un exercice dans lequel j'ai déjà montré que pour toute matrice A diagonalisable ou diagonale,
det (exp A) = exp (tr A).
Maintenant, je viens de montrer que c'était le cas pour toute matrice à valeur dans 
Ma démo s'appuie sur la décomposition de Dunford :
Soit A une matrice d'éléments de , 
D diagonale et N nilpotente telles que
A = D + N.
Le déterminant d'une matrice nilpotente est nul car det(Np) = det N x det (Np-1).
Donc det A = exp (tr A).
De plus, la trace d'une matrice nilpotente est nulle car ses valeurs propres sont nulles, et comme on est dans , son polynôme caractéristique est scindé.
Donc on obtient le résultat demandé.
Mais la viennent les problèmes, on me demande ce qu'il en est pour A une matrice d'éléments de
.
Je suis tenté de dire que c'est faux parce que le polynôme caractéristique n'est pas scindé donc la trace n'est pas forcément la somme des valeurs propres, et que donc la trace d'une matrice nilpotente n'est pas forcément nulle, mais j'aimerais bien trouver un exemple d'une telle matrice nilpotente...
(En plus comme 
, ça me perturbe, j'ai tendance à penser que c'est simplement un cas particulier de la question précédente).
Qqun qui a eu le courage de lire tout mon discours pourrait-il m'éclairer ?
Merci !
Bonjour
D'abord il y a un problème avec ton Dunford. Il dit seulement que avec
diagonalisable et
nilpotente et
et
commutent.
Qu'une matrice nilpotente soit réelle ou complexe ne change rien au fait que son déterminant et sa trace sont nulles.
C'est une bonne idée de regarder le cas réel comme cas particulier du cas complexe.
Bonjour
D'abord il y a un problème avec ton Dunford. Il dit seulement que avec
diagonalisable et
nilpotente et
et
commutent.
Qu'une matrice nilpotente soit réelle ou complexe ne change rien au fait que son déterminant et sa trace sont nulles.
C'est une bonne idée de regarder le cas réel comme cas particulier du cas complexe.
Pardon, D est seulement diagonalisable, pas diagonale, mais je sais tout de même que det (exp D) = exp (tr A) (je l'ai montré plus tôt).
Donc cela voudrait dire que l'égalité est vraie également dans le cas réel si la trace est nulle pour toute matrice nilpotente.
Mais dans ma démonstration, je m'appuie sur le fait qu'on est dans le cas complexe pour dire que le polynôme caractéristique est scindé, et que donc la trace est la somme des valeurs propres, qui sont toutes nulles, et qu'ainsi, la trace est nulle...
Comment je peux argumenter dans le cas réel ?
Tu t'en fiches... peu importe la méthode, tu as démontré que quelque chose est vrai pour toutes les matrices complexes, donc ça reste vrai pour le cas particulier d'une matrice réelle. En plus, il se trouve que le déterminant et la trace d'une matrice réelle sont des réels, donc tout colle.*
De plus le polynôme caractéristique d'une matrice nilpotente à coefficient dans n'importe quoi est , plus scindé que ça tu meurs!
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