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Tracer une courbe connaissant 4 points et les dérivées 1ère
Bonjour à tous!
On me donne les coordonnées de 4 points appartenant à la courbe représentative d'une fonction f définie sur R, ainsi que la valeur de la dérivée première en chacun de ces points.
Comment tracer cette courbe avec un logiciel du type Excel, Géogébra, ou autre ?
Bonjour,
si tout ça est imposé "à priori" et si on considère que la courbe est celle d'un polynome
cela détermine 8 conditions, donc 8 coefficients et donc un polynome de degré 7
je suis persuadé que tu interprètes de travers ton énoncé et que ce n'est pas du tout ce qu'on te demande vraiment.
(d'après toi pourquoi on exige de recopier mot à mot les énoncés ?
c'est parce que si l'élève ne sait pas faire l'exo c'est très souvent parce qu'il comprend l'énoncé de travers !!)
Voici l'énoncé exact:
Tracer dans un repère orthogonal, la courbe représentative d'une fonction en cohérence avec les informations suivantes: f(-2)=2 f(0)=1 f(1)=3 f(3)=-1 et f'(-2)=1 f'(0)=0 f'(1)=1 f'(3)=-1/2
J'ai positionné les points, et tracé en chacun des points la droite de pente égale à la valeur de f' en ce point . Ensuite, c'est du tracé à main levé pour faire en sorte que la courbe passe par les points donnés et soit tangente aux droites tracées.... c'est approximatif!
J'aurais aimé connaître une technique plus rigoureuse, en utilisant un logiciel, pour avoir un tracé précis de cette courbe!
c'est bien ce que je pensais.
on ne te demande pas un tracé algébrique de quoi que ce soit mais de tracer une (parmi une infinité possible !!) des courbes (à main levée) qui satisfait aux conditions
c'est tout.
si tu tiens à utiliser Geogebra, tu devras traduire toutes tes conditions algébriquement et faire résoudre le système d'équations par Géogebra (ou à la main) pour ce polynome de degré 7 avec 8 coefficients inconnus etc
mais tu sors de ce qu'on te demande de faire et le but de l'exo n'est pas du tout ça,
le but est de comprendre les conditions et de savoir ce qu'elles impliquent sur les variations de la courbe donc sur l'allure de la courbe et c'est tout.
1ère méthode : faire ce que je t'ai dit : écrire les 8 équations à 8 inconnues et le (faire) résoudre
2ème méthode : définir la courbe par morceaux, courbes de Bézier
un morceau dans [-2;0] sous forme d'un premier arc de courbe de degré 3 qui satisfait aux 4 conditions de ces 2 points (extrémités de l'arc et tangentes en ces extrémités)
cela peut se faire sans calcul par une méthode de construction d'un "lieu géométrique" dite méthode de Casteljau
les deux tangentes se coupent en I
placer M avec AM = t.AI, N avec IN = t.IB et P avec MP = t.MN
tracer le lieu de P quand t varie entre 0 et 1
ce lieu est une courbe qui passe par A et B et est tangente en A et en B aux tangentes voulues.
puis un deuxième morceau dans [0; α] avec 0<α< 1 et une tangente en α "arbitraire" coupant les tangentes en 0 et en 1 en des points d'abscisses entre 0 et 1 !
suivi d'un morceau dans [α; 1] etc
découper l'intervalle [0; 1] en deux ainsi (et de même pour l'intervalle [1; 3]) est rendu nécessaire car la méthode de Casteljau ne donnerait pas une fonction mais une courbe ayant deux valeurs de y pour une même ordonnée x
évidemment on a intérêt à définir tout ça par une "macro" sous Géogebra vu le caractère répétitif de la chose
il n'y a pas plus simple que ces deux méthodes :
calculs algébriques
ou tracé de courbes de Bézier.
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