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transformation complexe

Posté par
Hoffnung 09-05-21 à 00:43

Bonsoir,

Soit f l'application du plan vers lui-même qui à tout point M(z) on associe le point M'(z') tel que z'=-e^{2i\theta }\bar{z}+4e^{i\theta } \theta \in R

1.Montrer que f est une isometrie.
2.a) Montrer que f(M)=M \Leftrightarrow Re(e^{i\theta} \bar{z})=2
    b) En déduire que f est une symétrie orthogonale dont on précisera une équation
         cartésienne de son axe D
    c) Montrer que la droite D reste tangente à un cercle C de
         centre o dont on précisera le rayon quand \theta varie dans R .
je peine à résoudre 2.b et c .

Merci d'avance .

Posté par
Sylvieg Moderateurre : transformation complexe 09-05-21 à 07:52

Bonjour,
Poser z = x+iy puis traduire \; Re(e^{i\theta} \bar{z})=2 \; permet de trouver une équation cartésienne de l'ensemble des points invariants.

Posté par
Hoffnungre : transformation complexe 09-05-21 à 20:11

D'accord, et c ?

Posté par
Sylvieg Moderateurre : transformation complexe 09-05-21 à 21:03

Le résultat et un petit merci seraient appréciés.

Posté par
lakere : transformation complexe 09-05-21 à 21:04

Bonjour,

En l'absence de Sylvieg, je te suggère de t'intéresser à :

  1) M_{\theta} symétrique de O par rapport à D_{\theta} (son affixe est immédiate).

  2) Puis au milieu T_{\theta } de [OM_{\theta}] (affixe immédiate aussi)

  Ceci avec un peu de réflexion

Posté par
Sylvieg Moderateurre : transformation complexe 09-05-21 à 21:05

C'est vrai qu'il y a eu un merci d'avance.
Mais il est difficile d'aider sans savoir si tu as trouvé un équation correcte au b).

Posté par
lakere : transformation complexe 09-05-21 à 21:06

Bonjour malou

Aurais-je encore cafouillé ?

Posté par
lakere : transformation complexe 09-05-21 à 21:07

Mince ! C'était toi Sylvieg !  

Posté par
carpediemre : transformation complexe 09-05-21 à 21:11

salut

n'y aurait-il pas une erreur dans l'expression de f(z) ?

en notant z* le conjugué de z ...

f(M) = M \iff z = -e^{-2it} z^* + 4e^{-it} \iff ze^{it} + z^*e^{-it} = 4 \iff Re(ze^{it}) = Re(z^* e^{-it}) = 2

puisque les nombres z exp(it) et z* exp (-it) sont ...

Posté par
lakere : transformation complexe 09-05-21 à 21:17

Bonsoir carpediem,

Non pas d'erreur : c'est toi qui en a fait une  (avec un signe - en trop)

Posté par
Hoffnungre : transformation complexe 09-05-21 à 22:18

Sylvieg @ 09-05-2021 à 21:03

Le résultat et un petit merci seraient appréciés.
bonsoir, je m'excuse je ne voulais pas paraître irrespectueuse ,  à ce moment là j'ai pas encore essayé
pour le b:
j'ai commencé par e^{i\theta }\bar{z}=e^{i\theta }z et j'ai trouvé y=\frac{3}{icos(2\theta )}-\frac{i}{e^{(i2\theta )}*cos(2\theta )} qui '  m'a paru bizarre
lake @ 09-05-2021 à 21:04

Bonjour,

En l'absence de Sylvieg, je te suggère de t'intéresser à :

  1) M_{\theta} symétrique de O par rapport à D_{\theta} (son affixe est immédiate).

  2) Puis au milieu T_{\theta } de [OM_{\theta}] (affixe immédiate aussi)

  Ceci avec un peu de réflexion

pour 2)c. ?j'ai pas bien compris

Posté par
Sylvieg Moderateurre : transformation complexe 09-05-21 à 22:21

Je confirme : Pas d'erreur.
Pas de cafouillage non plus.
Mais j'aimerais voir ce que Hoffnung a trouvé comme équation au 2)b).

Posté par
Hoffnungre : transformation complexe 09-05-21 à 22:28

Hoffnung @ 09-05-2021 à 22:18

Sylvieg @ 09-05-2021 à 21:03

Le résultat et un petit merci seraient appréciés.
bonsoir, je m'excuse je ne voulais pas paraître irrespectueuse ,  à ce moment là j'ai pas encore essayé
pour le b:
j'ai commencé par e^{i\theta }\bar{z}=e^{i\theta }z et j'ai trouvé y=\frac{3}{icos(2\theta )}-\frac{i}{e^{(i2\theta )}*cos(2\theta )} qui '  m'a paru bizarre
lake @ 09-05-2021 à 21:04

Bonjour,

En l'absence de Sylvieg, je te suggère de t'intéresser à :
..

  1) M_{\theta} symétrique de O par rapport à D_{\theta} (son affixe est immédiate).

  2) Puis au milieu T_{\theta } de [OM_{\theta}] (affixe immédiate aussi)

  Ceci avec un peu de réflexion

pour 2)c. ?j'ai pas bien compris

Posté par
Sylvieg Moderateurre : transformation complexe 09-05-21 à 22:28

Messages croisés Hoffnung
Pour b), suis mon indication de 7h52.
Inutile de chercher c) sans une réponse correcte de b).

Posté par
Sylvieg Moderateurre : transformation complexe 09-05-21 à 22:29

A demain !

Posté par
Sylvieg Moderateurre : transformation complexe 10-05-21 à 08:54

@lake,
Moi non plus je n'ai pas compris tes indications données hier à 21h04.
Mais attendons que 2)b) soit terminé et compris par Hoffnung

Posté par
lakere : transformation complexe 10-05-21 à 10:09

J'attends donc

Posté par
Sylvieg Moderateurre : transformation complexe 10-05-21 à 15:44

J'ai fini par comprendre

Posté par
lakere : transformation complexe 10-05-21 à 16:49

Pendant un (tout) petit moment, tu m'as fait douter
Je te laisse poursuivre au retour d' Hoffnung

Posté par
Hoffnungre : transformation complexe 10-05-21 à 18:44

Salut,e^{i\theta }\bar{z}=e^{i\theta }(x-iy) =xcos(\theta )+isin(\theta )x-iycos(\vartheta )+ysin(\theta ) =cos(\theta )x+ysin(\theta )+i(sin(\theta )-cos(\theta )y) \\ \\ Re(e^{i\theta })=cos(\theta )x+ysin(\theta )=2 \\ d'où  y =\frac{2-xcos(\theta )}{sin(\theta) }

Posté par
Sylvieg Moderateurre : transformation complexe 10-05-21 à 18:56

Oui, sauf que le sinus peut être nul.
Mieux vaut écrire ainsi : cos(\theta )x+sin(\theta )y=2

Pour c), Construis les droite D pour quelques cas particuliers de valeurs de . Par exemple 0, /2 , ...
Tu vas ainsi conjecturer le cercle.
Ensuite tu seras un peu moins dans le vague.

Posté par
Hoffnungre : transformation complexe 10-05-21 à 22:52

j'ai eu cette idée, est-ce que c'est correct ?

D:
cos(\theta )x+sin(\theta )y-2=0 \\ d(\theta ,D_{\theta })=\left|x_{\theta }a+y_{\theta }b+c \right|=\left|-2 \right| \\ d(\theta ,D_{\theta })=2 \\ d'où  pour  tout  \theta \in R  la  droite D_{\theta }  est  tg  au  cercle  C_{(o,2)}

Posté par
Sylvieg Moderateurre : transformation complexe 11-05-21 à 07:38

Je pense que le raisonnement est correct ; mais il n'est pas très explicité...
Une petite phrase pour annoncer ce que tu calcules et la formule que tu utilises me semble nécessaire.
Si j'ai bien compris, tu utilises une formule qui calcule une distance. Il y a un dénominateur dans cette formule. Où est-il ?
Par ailleurs, j'ai l'impression que c'est d(O,D) que tu as voulu écrire, et pas d(,D).

Posté par
Hoffnungre : transformation complexe 11-05-21 à 23:22

c'est\sqrt{cos^{2}\theta +sin^{2}\theta } non?
oui c'est d(o,D)


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