Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... BTSForum de maths BTS AnalyseTopics traitant de analyse [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau BTS
Partager :

transformation d abel

Posté par gouari (invité) 24-10-05 à 12:07

salut a tout le monde.
j'aimerai savoir comment montrer qu la suite sous forme de :  Un = sinx/x est convergente en utilisant la transformation d'abel?
merci d'avance.

Posté par
Titi de la TS3re : transformation d abel 24-10-05 à 15:02

Bonjour, peux tu m'expliquer la transfoemation d'Abel.
Sinon ton problème peux trés bien être résolu par le théorème des suites encadrées, connu sous le nom ridicule du théorème des gendarmes.

Mais cela m'interesserais si tu pouvais m'expliquer la transformation d'Abel.

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : transformation d abel 24-10-05 à 16:45

Bonjour gouari;
Notations:
3$\fbox{(n\ge1)\\U_n=\Bigsum_{k=1}^{n}\frac{sin(k)}{k}\\S_n=\Bigsum_{k=1}^{n}sin(k)}
Principe:
Le principe de la transformation d'abel est de montrer ( en utilisant le critére de cauchy ) la convergence d'une série de la forme \Bigsum_{n}u_na_n
où (u_n) est une suite réelle décroissante vers 0 et (a_n) est une suite d'un Evn complet (banach) dont les sommes partielles \Bigsum_{k\le n}a_k sont uniformément bornées ( indépendamment de n )c'est à dire que 2$\fbox{(\exists M\ge0)(\forall n)||\Bigsum_{k\le n}a_k||\le M}.
Résolution:
\fbox{(\forall n,p\ge1)\\U_{n+p}-U_n=\Bigsum_{k=n+1}^{n+p}\frac{sin(k)}{k}=\Bigsum_{k=n+1}^{n+p}\frac{S_k-S_{k-1}}{k}=\Bigsum_{k=n+1}^{n+p}\frac{S_k}{k}-\Bigsum_{k=n+1}^{n+p}\frac{S_{k-1}}{k}=\Bigsum_{k=n+1}^{n+p}\frac{S_k}{k}-\Bigsum_{k=n}^{n+p-1}\frac{S_k}{k+1}\\=\frac{S_{n+p}}{n+p}-\frac{S_{n}}{n+1}+\Bigsum_{k=n+1}^{n+p-1}(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1})S_k}
D'autre part on a:
\fbox{(\forall n\ge1)\\S_n=\Bigsum_{k=0}^{n}sin(k)=\Bigsum_{k=0}^{n}Im(e^{ik})=Im(\Bigsum_{k=0}^{n}(e^{i})^k)=Im(\frac{1-e^{i(n+1)}}{1-e^i})=Im(\frac{e^{i\frac{n+1}{2}}(e^{-i\frac{n+1}{2}}-e^{i\frac{n+1}{2}})}{e^{\frac{i}{2}}(e^{-\frac{i}{2}}-e^{\frac{i}{2}})})} et donc que:
\fbox{(\forall n\ge1)\\S_n=\frac{sin(\frac{n+1}{2})}{sin(\frac{1}{2})}Im(e^{i\frac{n}{2}})=\frac{sin(\frac{n+1}{2})sin(\frac{n}{2})}{sin(\frac{1}{2})}} et on voit alors que \fbox{(\forall n\ge1)\\|S_n|\le\frac{1}{sin(\frac{1}{2})}=M}
et ainsi on a \fbox{(\forall n,p\ge1)\\|U_{n+p}-U_n|\le\frac{2M}{n+1}+M\Bigsum_{k=n+1}^{n+p-1}(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1})=\frac{2M}{n+1}+M(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+p})\le\frac{3M}{n+1}}
et on voit que 3$\blue\fbox{\lim_{n\to+\infty}|U_{n+p}-U_n|=0} la suite (U_n) est donc de cauchy et \mathbb{R} étant complet on conclut que la série \bigsum_{n\ge1}\frac{sin(n)}{n} est convergente. CQFD

Sauf erreurs bien entendu

Posté par gouari (invité)merci 24-10-05 à 21:12

je te remercie bien abdelati pour ton aide et a bientot!
pour toi titi tu peux jeter un coup d'oeil sur la reponse ci dessus et merci a toi aussi pour l'aide!


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1675 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !