Salut!
Non c'est faux. Prends par exemple l'indicatrice de [-1,1], sa transformée de fourier ce sera qqch comme sin(xi)/xi (avec un coeff qui dependra de la normalisation que tu as choisi).
Prend ensuite une fonction Cinfini qui soit plus grande que 1 sur [-1,1], alors par intégration par partie c'est facile de voir qu'elle decroit plus vite en l'infini que sin(xi)/xi.
La transformée de Fourier ecchange regularité et decroissance a l'infini.

Merci Marmelade!

Un autre problème: si f:R^n->R est une fonction réelle, paire et tq
sur B(0,1) et tq ailleurs
pour 0<a,b<1.

est-ce qu'on a que sa TF vérifie

sur B(0,1) et ailleurs?

je crois que oui, prendre par exemple avec a<c<b mais je ne sais pas comment prouver le cas général...