Niveau école ingénieur

Transformation de Fourier

Posté par
Mathes1 29-10-23 à 13:01

Bonjour à tous
J'ai un exercice merci beaucoup d'avance
1) Soit les deux fonctions f(t)=t et g(t)=e^2t
tel que t≥0. Calculer le produit de convolution h=f*g
2) Soit f(t) définie par
$f(t)=\begin{cases} 1, & 0<t<\pi \\0, & -\pi<t<0 \end{cases}$
Calculer la série de Fourier de la fonction f(t)
Alors je propose ;
1)
Pour calculer le produit de convolution $h = f * g$ des deux fonctions $f(t) = t$ et $g(t) = e^{2t}$ , on utilise la définition de la convolution :

$h(t) = \int_{0}^{t} f(\tau) \cdot g(t - \tau) d\tau$

Dans ce cas, $f(t) = t$ et $g(t) = e^{2t}$ . Appliquons la définition de convolution :

$h(t) = \int_{0}^{t} \tau \cdot e^{2(t - \tau)} d\tau$

Maintenant, effectuons cette intégrale :

$h(t) = \int_{0}^{t} \tau \cdot e^{2t} \cdot e^{-2\tau} d\tau$

$h(t) = e^{2t} \int_{0}^{t} \tau \cdot e^{-2\tau} d\tau$

Intégrons cette expression par parties. Soit $u = \tau$ et $dv = e^{-2\tau} d\tau$ . Alors, $du = d\tau$ et $v = -\frac{1}{2} e^{-2\tau}$ .

$h(t) = e^{2t} \left(-\frac{1}{2} \tau e^{-2\tau} \bigg|_{0}^{t} + \frac{1}{2} \int_{0}^{t} e^{-2\tau} d\tau\right)$

$h(t) = e^{2t} \left(-\frac{1}{2} t e^{-2t} + \frac{1}{2} \left(-\frac{1}{2} e^{-2\tau} \bigg|_{0}^{t}\right)\right)$

Maintenant, évaluons les limites :

$h(t) = e^{2t} \left(-\frac{1}{2} t e^{-2t} + \frac{1}{4} (1 - e^{-2t})\right)$

$h(t) = -\frac{1}{2} t e^{2t} + \frac{1}{4} (e^{2t} - e^{4t})$

Donc, le produit de convolution $h = f * g$ est donné par cette expression.
2)
Pour calculer la série de Fourier de la fonction périodique f(t) définie comme suit:

$f(t)=\begin{cases} 1, & 0<t<\pi \\0, & -\pi<t<0 \end{cases}$

Nous allons suivre les étapes standard pour déterminer les coefficients de Fourier. La série de Fourier de f(t) est donnée par:

$f(t) = a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} \left(a_n \cos\left(\frac{2\pi nt}{T}\right) + b_n \sin\left(\frac{2\pi nt}{T}\right)\right)$

Où T est la période de la fonction. Dans ce cas, la période est T = 2π, car la fonction est périodique sur l'intervalle [0, 2π].

Pour calculer les coefficients de Fourier, nous avons les formules suivantes:

1. Coefficient a0:
$a_0 = \frac{1}{T} \int_{-\pi}^{\pi} f(t) dt$

2. Coefficients an:
$a_n = \frac{1}{T} \int_{-\pi}^{\pi} f(t) \cos\left(\frac{2\pi nt}{T}\right) dt$

3. Coefficients bn:
$b_n = \frac{1}{T} \int_{-\pi}^{\pi} f(t) \sin\left(\frac{2\pi nt}{T}\right) dt$

Dans ce cas, les calculs sont simplifiés car f(t) est donné explicitement. Pour la période [0, 2π], nous avons:

1. a0:
$a_0 = \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{\pi} 1 dt = \frac{1}{2\pi} \left[t\right]_{0}^{\pi} = \frac{1}{2\pi} \pi = \frac{1}{2}$

2. an:
$a_n = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} 1 \cos\left(\frac{2\pi nt}{2\pi}\right) dt = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} \cos(n t) dt$

Pour n = 0, an = 0, car le cos(0) est égal à 1.

Pour n > 0, an = 0, car l'intégrale de cos(nt) sur la période [0, π] est nulle (car le cos(nt) est une fonction paire).

3. bn:
$b_n = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} 1 \sin\left(\frac{2\pi nt}{2\pi}\right) dt = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} \sin(n t) dt$

Pour n = 0, bn = 0, car le sin(0) est égal à 0.

Pour n > 0, bn = 0, car l'intégrale de sin(nt) sur la période [0, π] est nulle (car le sin(nt) est une fonction impaire).

Ainsi, la série de Fourier de la fonction f(t) est simplement:

$f(t) = \frac{1}{2}$

Cela signifie que la série de Fourier est constituée d'un seul terme constant égal à 1/2.
Merci beaucoup d'avance !

Posté par re : Transformation de Fourier 29-10-23 à 13:31

Hello, pour la question 2 (j'ai pas lu la 1) sois logique un peu

Est ce que f(x) = 1/2 ?

Posté par re : Transformation de Fourier 29-10-23 à 13:54

Il y a d'autres erreurs. On se fiche de la valeur de $b_0$ , les justifications des valeurs des intégrales pour cause de parité sont fausses, et ce n'est pas f qui vaut 1/2 mais la série de Fourier avec des coefficients faux que tu as trouvée.
Quand le calcul sera bon il faudra encore justifier que f est égale à sa série de Fourier, ou au contraire qu'elle ne lui est pas égale

Posté par re : Transformation de Fourier 31-10-23 à 22:16

Bonjour
Pour la première question
• $h(t)=-\dfrac{1}{2}t-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}e^{2t}$
Merci

Posté par re : Transformation de Fourier 02-11-23 à 18:06

Bonjour
pour la deuxième question
Calcul de $(a_0):[ a_0 = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(t) dt = \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{\pi} 1 dt = \frac{1}{2\pi} \pi = \frac{1}{2} ]$ Calcul de $(a_n):[ a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(t) \cos(n t) dt = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} \cos(n t) dt = 0 ]$ Calcul de $(b_n):[ b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(t) \sin(n t) dt = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} \sin(n t) dt = \frac{2}{n\pi} ]$ La série de Fourier de la fonction (f(t)) est alors : $[ f(t) = \frac{1}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{2}{n\pi}\sin(nt)\right) ]$
Merci beaucoup !

Posté par re : Transformation de Fourier 03-11-23 à 21:11

Bonjour

Merci beaucoup d'avance

Posté par re : Transformation de Fourier 17-11-23 à 16:15

Bonjour

Citation :
Calcul de $(b_n):[ b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(t) \sin(n t) dt = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} \sin(n t) dt =$ = $\dfrac{1}{\pi}\left[-\dfrac{cos(nt)}{n} \right]_{0}^{\pi}=\dfrac{1}{\pi}\left( -\dfrac{(-1)^n}{n}+\dfrac{1}{n}\right)$

Merci beaucoup d'avance

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