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transformation et fonction
soit ABCD un carré de coté 6 cm.
L , M, N et P sont respectivement les points des segments [AB] , [BC],[CD], et [AD], tels que AL =BM=CN=DP.
soit O le centre du carré ABCD, s la symétrie centrale de O et r la rotation de centre O et d'angle 90°.
1)determiner l'image des points L et M par s ,en justifiant votre reponse
en deduire que LMNP est un parallelogramme.
2)determiner l'image des points L,M,N et P par r (en justifiant)
en deduire que LMNP est un carré.
3) a) exprimer l'aire A du quadrilatere LMNP en fonction de la longueur x du segment [AL].
b) preciser l'ensemble de dfinition de A(x).
c) tracer la courbe representative de A(x).
4) soit x appartient a [0;6]
a)resoudre 2(x²-6x+18)est strictement plus grand que 20
b) resoudre x² - 6x +18 = 9.
1)
L'image de L par s est N.
En effet:
AO = OC (car les diagonales d'un carré se coupe en leur milieu
et O est le point de rencontre des diagonales da carré ABCD).
CN = AL par hypothèse.
angle(NCO) = angle(OAL) (comme angles alternes-internes)
Des 3 lignes qui précède -> les triangles AOL et NOC sont isométriques.
-> OL = ON. et donc l'image de L par s est N.
On démontre de manière analogue que l'image de M par s est le point
P.
De ce qui précède, on a donc que le quadrilatère LMNP a ses diagonale
qui se croisent en leur milieu et donc ce quadrilatère est un parallélogramme.
-----
2)
L'image de L par r est le point M.
En appliquant r au point A, on arrive sur le point B (puisque l'angle
AOB = 90° et OA = OB).
En appliquant r au point B, on arrive sur le point C (puisque l'angle
BOC = 90° et OB = OC).
Donc le segment [BC] est l'image par r de [AB].
Comme AL = MB, M est l'image de L par r.
--
On montre de manière analogue que:
L'image de M par r est le point N.
L'image de N par r est le point P.
L'image de P par r est le point L.
De ce qui précède, on conclut que le quadrilatère LMNP à ses diagonales
perpendiculaires et égales.
Comme un parallélogramme qui a ses diagonales perpendiculaires et égales
est un carré, LMNP est donc un carré.
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3)
a)
[AL] = x
[AP] = 6 - x
Dans le triangle PAL: PL² = AL² + AP²
PL² = x² + (6-x)²
Or aire(LMNP) = PL²
Aire(LMNP) = x² + (6-x)²
Aire(LMNP) = x² + 36 - 12x + x²
Aire(LMNP) = 2x² -12x + 36
Aire(LMNP) = 2(x² - 6x + 18)
b) A(x) = 2(x² - 6x + 18) pour x compris dans [0 ; 6]
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4)
a)
2(x² - 6x + 18) > 20
x² - 6x + 18 > 10
x² - 6x + 8 > 0
(x-2)(x-4) > 0
x dans [0 ; 2[ U ]4 ; 6] convient.
--
b)
x² - 6x +18 = 9.
x² - 6x + 9 = 0.
(x-3)² = 0
x = 3
------
Sauf distraction.
soit ABCD un carré de coté 6cm.
L, M, N et P sont respectivement les points des segments [AB],[BC],
[CD] et [AD], tels que AL=BM=CN=DP.
soit O le cntre du carré ABCD, s la symetrie centrale de centre O et r
la rotation de centre O et d'angle 90°.
1)determiner l'image des points L et M par s (en justifiant la reponse)
en deduire que LMNP est un parallelogramme.
2)determiner l'image des points L,M,N,P par r (en justifiant)
en deduire que LMNP est un carré.
3)a)exprimer l'aire A du quadrilataire LMNP en fonction de la longueur x
du segment [AL].
b)preciser l'ensemble de definition de A(x).
c)tracer la courbe represantative de A(x).
4) (€=appartient)
soit x € [0;6].
a)resoudre 2(x carré - 6x+18)>20
b)resoudre: x carré -6x+18=9
merci de m'aider car je comprend
pas !!!
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