Salut !

il me semble bien que

intégral entre -Inf et +Inf de
[(1/x²)exp(izx)]dx

n'est pas definit ! (gros probleme en 0...)

Bonsoir Adeline

C'est bizarre ! Il me semble que ton intégrale n'existe pas. En 0, il y a un problème.

Kaiser

Bonsoir Ksilver !

bonsoir a tt les deux!
si vous voulez je resume mon résonnement du debut...

Oui, ça serait bien.
Autre chose : j'aurais aussi bien voulu savoir qui étaient f et g.

Kaiser

voila ,on me demande donc de montrer que
pour n entier
1/(a+n)² =²/sin²a

où a est dans R mais n'est pas un entier.

du coup je prend une fonction
g(x)=exp(-iax)f(x)

je cherche la transformé de fourrier de cette fonction:
G(z)=F(a+z) par une formule que l'on a ds le cours.

et la quend je regarde mon énoncé ,je vois que globalement avec F(z)=1/z² j'ai ma partie de gauche de mon agalité.

du coup avce la formule sommatoire de Poisson j'ai que tte ma partie gauche
1/(a+n)² est egale à
2f(2m)

pour m dans Z

mais donc je dois trouver f alors qu eje connais sa transformé F(z)=1/z²

voila ou j'en suis ......

Il me semble que pour utiliser cette formule, il faut certaines hypothèses, non ?
Personnellement, j'avais déjà entendu parler de cette formule mais c'est tout.
C'est pourquoi je suis parti regarder sur Wikipédia :
Il me semble donc que ta fonction doit être à croissance tempérée ce qui ne semble pas être le cas.
De toutes façons, on voit qu'il y a clairement un problème en 0.

Kaiser

Salut Kaiser!


adeline85,
tu es sur que ce résultat est une application de la formule somatoire de poisson ?

personellement je l'ai déja rencontré et on l'avait montré en dévelopant "je ne sais plus trop quoi" en serie de fourier.

ma formule sommatoire de poisson s'énnonce comme ca :
Il faut en effet que g et G soit des fonctions a decroissance modéré( je ne suis pas sure du tt que ca s'appelle comme ca en francais...mais en anglais c'est moderate decrease) ou alors plus simplement (ou plus compliqué )que G soit une classe de Schwartz )
alors
g (2m)=(1/2)G(n)

pour n et m des entiers

du coup je n'ai fait que apliquer en suposant que G(z)=1/(a+z)²  est une classe de schwartz

Effectivement Ksilver. En cherchant un peu, il me semble que développer en série de Fourier la fonction f définie par pour x appartenant à , ça marche avec le théorème de Parseval.

Kaiser

Justement, cette fonction G n'est pas dans la classe de Schwartz car pour peu que tu la multiplies par , tu n'obtiendras pas une fonction bornée.

Kaiser

Oui c'etait exactement ca !

oui c'est vrai mais par contre cette fonction G est "moderate decrease" et il me sufirait que g aussi le soit et alors ce serait bon
mais pour trouver g je dois trouver f et là je bloque

Adeline

Je viens de faire les calculs et avec Parseval, ça marche effectivement.

Kaiser

je ne suis pas surede savoir ce que tu entend par Parseval ..en fait tu prend toujours ma fonction g ou alors tu prend une autre ...mais je ne comprend pas par ce que pour Parseval c'est la somme des coef de fourrier et pas des transformée ....

bref je suis un peu perdue ...

Adeline

Il y a encore un truc qui me chiffonne. Si ne me trompe pas, la transformée de Fourier d'une fonction est définie au moins sur tout entier, or n'est pas définie en 0, donc ça m'étonnerait que tu puisses trouver une fonction f telle que soit sa transformée de Fourier.
Mais je me trompe peut-être.

Kaiser

Adeline> C'est vrai que la notation de mon message de 19:01 laissait à désirer : j'aurais du prendre autre chose que f.
Dans ce cas, je considère la fonction h -périodique définie par pour x appartenant à et tel que h soit nulle aux points du type avec k un entier relatif.

merci,
je tente de regarder si j'y arrive avec Parseval...

Adeline

Ca me rappelle un gars qui a fait un exposé un 2 avril qu'il a introduit ainsi : "c'est dommage que je n'ai pas fait cet exposé hier parce qu'il commence par une formule de Poisson"

d'ailleur Il n'y aurait pas une methode géneral pour calculer la somme de -inf a +inf de F(n), ou F est une fraction rationelle en fonction des poles et des zéros de F ?


(a moins que cette méthode ne s'apelle la décomposition en élement simple ? :p )

bon ca va pour moi ...on est encore loin d'avril ....

mais j'ai un petit problem Kaiser

par ce que je trouve
|Cn|²=|sin((a-n))/
(a-n)|²
et l'intégrale me donne ( sin(2a)/a - sin (a))/2a
as tu les meme resultats ??

Adeline

attention, tu dois intégré |f|², tu trouve donc imediatement 2Pi !

et donc somme des |Cn|² = 2Pi/2Pi = 1 !!

mais je ne suis pas sure de saisir...
1/2(Intgrale entre + et - de |exp(iax)|²dx
est egale a 1 ?
par ce que je  trouve = sin(2a)/2a ?
je me suis trompée ?
Adeline

Le module de l'exponentielle est égale à 1 car a est réel.

Kaiser

merci ...mais ne fait j'ai l'impression de patoger complet ...je vien de refaire mes calculs ...et je trouve
Cn= 2(-1)ⁿcos(a)/i(a-n)
et C₀=isin(a)/


du coup ca ne va pas ....
voyez vous où je me suis gourré ???

Adeline

please.........

Au fait vous savez quel rapport il y a entre un poisson et la loi de Poisson en probabilité ?

j'ai trouvé ...en fait il n'y avait pas qu'une erreure de calcul mais beaucoup

merci pour tout a tous les deux !!

Amicalement
Adeline

non la quelle ??

quel rapport il y a entre un poisson et la loi de Poisson en probabilité ? Attends on va voir si les autres savent.

Ce n'est pas la peine de distinguer le cas n=0 des autres.
Pour le calcul, tu dois trouver un sinus car en intégrant, il va apparaître la différence de deux exponentielles complexes.

Plus précisément, on a pour tout entier n :



Ainsi, on a :



Je te laisse continuer.

Kaiser

Adeline> Pour ma part, je t'en prie !

Stokastik> aucune idée !
_{Ai-je raison de craindre le pire ?}

Kaiser

Ben en fait il n'y a pas de rapport entre un poisson et une loi de Poisson, c'est juste que c'est Mr Poisson qui a défini la loi de Poisson.